Wandlungswirkungsgrad

Der Wandlungswirkungsgrad $\eta_{\text{conv}}$ ist der fünfte und letzte Faktor im Integranden von der Gleichung. Er beantwortet die abschließende Frage der Kette: Von der Energie, die durch Wechselwirkung deponiert und durch das System transportiert wurde, welcher Anteil wird tatsächlich in nutzbare Leistung überführt? Als dimensionslose Zahl zwischen null und eins ist $\eta_{\text{conv}}$ der Faktor, der aus einem physikalischen Rohprozess einen nützlichen Prozess macht — und der die Schubart Master-Formel mit der Thermodynamik verbindet.

Tiefe 1 — Intuition

Alle vorangegangenen Faktoren haben Energie in Bewegung gesetzt: $\Phi$ liefert das Angebot, $\sigma$ wählt aus, was wechselwirkt, $\Delta p$ überträgt Impuls, $v_{\text{ph}}$ transportiert die Anregung. Doch nicht jede transportierte Anregung wird zu Nutzenergie. Ein Teil geht als Wärme verloren, ein Teil zerstreut sich, ein Teil erreicht nie den Ort der Nutzung. Der Wandlungswirkungsgrad ist der ehrliche Kassensturz am Ende: Wie viel bleibt übrig?

Man kann sich $\eta_{\text{conv}}$ als Steuersatz auf jedes Wechselwirkungsereignis vorstellen. Von jedem eingehenden Energiepaket wird ein bestimmter Anteil einbehalten — er verpufft in Verlusten —, und nur der Rest steht als brauchbare Leistung zur Verfügung. Ist $\eta_{\text{conv}} = 1$, geht nichts verloren; ist $\eta_{\text{conv}} = 0$, wird nichts gewandelt. Reale Systeme liegen dazwischen.

Weil $\eta_{\text{conv}}$ dimensionslos ist — eine reine Verhältniszahl —, verändert es die Einheiten der Master-Formel nicht. Es skaliert das Ergebnis lediglich nach unten. Diese scheinbare Bescheidenheit täuscht: $\eta_{\text{conv}}$ ist oft der Faktor, der über praktische Machbarkeit oder Unmöglichkeit entscheidet, denn er trägt die volle Last der thermodynamischen Grenzen.

Tiefe 2 — Die Physik

Der Wandlungswirkungsgrad fasst die gesamte Physik zusammen, die zwischen einer deponierten Anregung und einer verwertbaren Ausgangsleistung liegt. Er ist selten eine einfache Konstante, sondern das Produkt mehrerer Teileffizienzen: der Anteil der Anregungen, der überhaupt gesammelt wird; der Anteil, der nicht vorzeitig thermalisiert; und der Anteil, der beim finalen Wandlungsschritt in die gewünschte Form übergeht.

Über all diesen Teilschritten steht eine unumstößliche Schranke: der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Kein Wandlungsprozess kann Energie ohne Entropieproduktion umformen, und jede reale Umwandlung erzeugt Entropie. Für Prozesse, die zwischen thermischen Reservoiren arbeiten, setzt die Carnot-Grenze eine harte Obergrenze; für andere Wandlungswege gelten analoge, ebenso unerbittliche Schranken. $\eta_{\text{conv}}$ ist daher stets kleiner als eins — nicht aus technischer Unvollkommenheit allein, sondern aus prinzipiellen Gründen.

$\eta_{\text{conv}}$ ist außerdem die natürliche Stelle, an der irreversible Verluste verbucht werden: Wärmeleitung, Reibung im weitesten Sinne, Streuung an Defekten, Rekombination von Anregungen. Jeder dieser Kanäle entzieht dem nutzbaren Strom Energie und senkt den Wirkungsgrad. In vielen Systemen hängt $\eta_{\text{conv}}$ zudem von der Energie oder Frequenz der Anregung ab — dann wird es innerhalb des Integrals mitintegriert, statt als konstanter Vorfaktor herausgezogen zu werden.

Die Neutralität der Formel bleibt auch hier gewahrt. $\eta_{\text{conv}}$ schreibt keinen Wandlungsmechanismus vor. In einer möglichen Anwendung wie der Neutrinovoltaik stünde es für die Effizienz, mit der eine Gitteranregung in einen elektrischen Ausgang überführt wird; in einer thermoelektrischen Anwendung für den entsprechenden thermoelektrischen Wirkungsgrad; in einer photovoltaischen für die Quantenausbeute mal Sammelwirkungsgrad. Die Master-Formel verlangt nur, dass sich der Nutzanteil als dimensionslose Zahl im Intervall $[0,1]$ ausdrücken lässt und die thermodynamischen Grenzen respektiert.

Tiefe 3 — Die Mathematik

Grundlegend ist $\eta_{\text{conv}}$ als Verhältnis definiert:

$$\eta_{\text{conv}} = \frac{P_{\text{nutzbar}}}{P_{\text{eingang}}}, \qquad 0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1 .$$

Weil Zähler und Nenner dieselbe Einheit (Leistung) tragen, ist $\eta_{\text{conv}}$ dimensionslos — der einzige Faktor der Master-Formel ohne physikalische Einheit. Genau deshalb legt er die Einheiten des Endergebnisses nicht fest, sondern skaliert nur dessen Betrag.

Setzt sich der Wandlungsweg aus mehreren voneinander unabhängigen Stufen zusammen, so ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der Teilwirkungsgrade:

$$\eta_{\text{conv}} = \prod_{i} \eta_{i} = \eta_{\text{sammel}}\cdot \eta_{\text{transport}}\cdot \eta_{\text{wandlung}}\cdots$$

Da jedes $\eta_i \le 1$ ist, drückt das Produkt den Gesamtwirkungsgrad zwangsläufig weiter herab — eine Kette ist nur so effizient wie das Produkt ihrer Glieder.

Für thermisch getriebene Wandlung setzt die Carnot-Beziehung die Obergrenze

$$\eta_{\text{conv}} \le \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}},$$

mit den absoluten Temperaturen $T_{\text{kalt}}$ und $T_{\text{heiß}}$. Diese Schranke ist unabhängig von der konkreten Technologie und verankert $\eta_{\text{conv}}$ fest in der Thermodynamik.

Ist der Wirkungsgrad energieabhängig, $\eta_{\text{conv}} = \eta_{\text{conv}}(E)$, so muss er innerhalb des Integrals verbleiben:

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\, v_{\text{ph}}\, \eta_{\text{conv}}(E)\; \mathrm{d}E\, \mathrm{d}\theta .$$

Nur wenn $\eta_{\text{conv}}$ über den relevanten Energiebereich hinreichend konstant ist, darf es als Vorfaktor vor das Integral gezogen werden — eine Näherung, deren Gültigkeit in der vollständigen Herleitung diskutiert wird. Diese Unterscheidung ist mehr als formal: Ein $\eta_{\text{conv}}(E)$, das gerade dort klein ist, wo $\Phi\sigma$ groß ist, kann die Gesamtausbeute drastisch senken, auch wenn sein Maximalwert hoch erscheint.

Die Rolle von $\eta_{\text{conv}}$ in der Notation ist damit doppelt: Es ist zugleich der physikalisch anspruchsvollste Faktor — weil er die Thermodynamik trägt — und der dimensionell einfachste, weil er nur eine reine Zahl beisteuert.

In der Bilanz

$\eta_{\text{conv}}$ ist der Ausbeutefaktor der Schubart Master-Formel: die dimensionslose Zahl, die entscheidet, welcher Anteil der transportierten Anregungsenergie zu nutzbarer Leistung wird. Er verankert die Formel in der Thermodynamik, verbucht alle irreversiblen Verluste und bleibt durch den zweiten Hauptsatz strikt unter eins. Als letzter Faktor des Integranden vollendet er die physikalische Kette; ihr Integral über Energie und Richtung ergibt die messbare Größe — die Leistungsabgabe $P(t)$.

Quellen

• Callen, H. B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2. Aufl.). Wiley.
• Fermi, E. (1956). Thermodynamics. Dover Publications.
• Goldsmid, H. J. (2010). Introduction to Thermoelectricity. Springer.
• Würfel, P. & Würfel, U. (2016). Physics of Solar Cells: From Basic Principles to Advanced Concepts (3. Aufl.). Wiley-VCH.