Vollständige Herleitung

Dieses Kapitel leitet die Schubart Master-Formel $P(t)$ von Grund auf her. Ziel ist es, die kanonische Gleichung nicht als gegebene Definition zu präsentieren, sondern als Ergebnis einer nachvollziehbaren Konstruktion: Man beginnt mit dem Beitrag eines einzelnen, infinitesimal schmalen Ausschnitts des einfallenden Feldes und summiert diese Beiträge zu einer Gesamtleistung auf. Die Herleitung ist bewusst technologie-neutral gehalten. Sie beschreibt einen allgemeinen mathematischen Rahmen für die kontinuierliche Wandlung von Umgebungsenergie in einem offenen System und trifft keine Aussage darüber, welcher physikalische Mechanismus die einzelnen Faktoren realisiert. Die Neutrinovoltaik ist dabei nur eine von mehreren denkbaren Anwendungen und keinesfalls die Definition des Rahmenwerks.

Das Ziel: eine zeitabhängige Leistung

Gesucht ist eine Größe $P(t)$ mit der Dimension einer Leistung, also Energie pro Zeit, gemessen in Watt. Diese Leistung soll beschreiben, wie viel Energie ein Wandler zu einem Zeitpunkt $t$ aus einem ihn durchdringenden Umgebungsfeld gewinnt. Das Feld ist kontinuierlich, breit verteilt und im Allgemeinen nicht im Gleichgewicht mit dem Wandler. Es kann Energie über ein ganzes Spektrum und aus einem Raumwinkelbereich zuführen. Eine sinnvolle Beschreibung muss daher zwei Verteilungen erfassen: die Verteilung der einfallenden Energie über die Energievariable $E$ und ihre Verteilung über die Winkelvariable $\theta$.

Der natürliche Weg, eine über zwei kontinuierliche Variablen verteilte Größe aufzusummieren, ist die Integration. Das Endergebnis wird daher die Form eines Doppelintegrals über $E$ und $\theta$ annehmen. Bevor dieses Integral aufgestellt werden kann, muss jedoch geklärt werden, welchen Beitrag ein einzelnes, festes Wertepaar $(E,\theta)$ zur Gesamtleistung liefert.

Der Beitrag einer einzelnen Scheibe

Man betrachte einen infinitesimal schmalen Ausschnitt des einfallenden Feldes: Energien im Intervall $[E, E+dE]$ und Winkel im Intervall $[\theta, \theta+d\theta]$. Dieser Ausschnitt wird im Folgenden als Scheibe bezeichnet. Der Leistungsbeitrag $dP$ dieser Scheibe entsteht durch eine Kette von fünf physikalisch voneinander unterscheidbaren Schritten, und jedem Schritt entspricht genau ein Faktor im Integranden.

Erstens muss überhaupt Fluss vorhanden sein. Die spektrale und winkelaufgelöste Flussdichte $\Phi(E,\theta,t)$ gibt an, wie viele Feldquanten pro Fläche, Zeit, Raumwinkel und Energie mit Energie $E$ aus Richtung $\theta$ zum Zeitpunkt $t$ eintreffen. Ohne Fluss gibt es nichts zu wandeln; $\Phi$ ist der treibende Term und trägt die gesamte Zeitabhängigkeit sowie die vollständige Abhängigkeit von $E$ und $\theta$.

Zweitens muss der Fluss an das Wandlermaterial koppeln. Die Kopplungsstärke wird durch den Streuquerschnitt $\sigma(E)$ mit der Dimension einer Fläche beschrieben. Er misst, wie wahrscheinlich eine Wechselwirkung bei gegebener Energie ist. Ein verschwindender Querschnitt bedeutet, dass der Fluss ungehindert und wirkungslos hindurchläuft.

Drittens muss jede Wechselwirkung einen gerichteten Impuls übertragen. Der Impulsübertrag $\Delta p$ erfasst diesen gerichteten Anteil. Sein Auftreten ist entscheidend: Nur ein gerichteter Nettoimpuls kann in nutzbare Leistung münden. Ein rein isotroper, richtungsloser Übertrag mittelt sich weg. Der Faktor $\Delta p$ kodiert damit den notwendigen Symmetriebruch des Systems, wie in Nichtgleichgewichts-Energiewandlung ausgeführt.

Viertens muss die übertragene Anregung transportiert werden. Die Phononengeschwindigkeit $v_{\text{ph}}$ beschreibt die Geschwindigkeit, mit der die im Material erzeugte Anregung — im Grundmodell eine Gitterschwingung — vom Wechselwirkungsort abtransportiert wird. Ohne Transport staut sich Energie am Entstehungsort, thermalisiert und steht nicht mehr als gerichtete Leistung zur Verfügung.

Fünftens muss die transportierte Anregung in nutzbare Form gebracht werden. Der dimensionslose Wandlungswirkungsgrad $\eta_{\text{conv}}$ mit $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$ gibt den Bruchteil der transportierten Energie an, der tatsächlich gerichtet nutzbar wird. Er fasst alle Verlustkanäle des letzten Schrittes in einer Zahl zusammen.

Der Beitrag der Scheibe ist das Produkt dieser fünf Faktoren, multipliziert mit der Größe der Scheibe selbst:

$$dP = \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Die multiplikative Struktur ist wesentlich. Sie kodiert eine Bedingungskette: Verschwindet auch nur ein einziger Faktor, so verschwindet der gesamte Beitrag. Fluss, Kopplung, gerichteter Impuls, Transport und Gleichrichtung sind jeweils notwendig, keiner allein hinreichend.

Integration über Energie und Winkel

Der Gesamtbeitrag ergibt sich, indem man die Beiträge aller Scheiben aufsummiert. Da $E$ und $\theta$ kontinuierliche Variablen sind, wird aus der Summe ein Integral. Man integriert zunächst über den relevanten Energiebereich und anschließend über den relevanten Winkelbereich. Da die beiden Integrationen über verschiedene, unabhängige Variablen laufen, lassen sie sich zu einem Doppelintegral zusammenfassen. Das Ergebnis ist die erweiterte physikalische Darstellung der Schubart Master-Formel:

$$\boxed{\;P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta\;}$$

Die Integrationsgrenzen sind bewusst nicht festgeschrieben. Sie ergeben sich aus der Modellspezifikation: Die Energieintegration läuft über den Bereich, in dem sowohl $\Phi$ als auch $\sigma$ nennenswert von null verschieden sind; die Winkelintegration über den Raumwinkel, aus dem Fluss einfallen kann. Außerhalb dieser Bereiche verschwinden die Beiträge ohnehin. Die formale Behandlung der Grenzen erfolgt in Systemgrenzen, die vollständige Bezeichnungskonvention aller Symbole in der Notationsreferenz.

Die vier tragenden Annahmen

Die Herleitung ruht auf vier Annahmen, die den Gültigkeitsbereich des Rahmenwerks abstecken. Sie werden hier explizit gemacht, weil ihre Verletzung die Gleichung ungültig machen würde.

Die erste Annahme ist, dass das betrachtete System offen und im Nichtgleichgewicht ist. Der Wandler tauscht fortlaufend Energie und Entropie mit seiner Umgebung aus. Nur unter dieser Voraussetzung ist eine stationäre Leistungsentnahme mit dem zweiten Hauptsatz vereinbar: Die im Wandler exportierte Entropie wird an die Umgebung abgegeben, sodass kein geschlossenes System Ordnung aus dem Nichts erzeugt. Diese Voraussetzung wird in Offene thermodynamische Systeme entfaltet.

Die zweite Annahme ist ein stetiger, andauernder Antrieb. Die Flussdichte $\Phi$ ist kein einmaliger Puls, sondern ein fortwährend anliegendes Feld. Nur dann ist $P(t)$ als anhaltende Leistung und nicht als abklingende Transiente zu verstehen. Die Zeitabhängigkeit von $\Phi$ erlaubt zwar Schwankungen, doch der Antrieb verschwindet im Mittel nicht.

Die dritte Annahme ist, dass die Wechselwirkungen linear und voneinander unabhängig sind. Linearität bedeutet, dass der Beitrag einer Scheibe nicht davon abhängt, wie stark andere Scheiben beitragen; Unabhängigkeit bedeutet, dass sich die Beiträge ohne Kreuzterme superponieren. Diese Annahme rechtfertigt überhaupt erst, dass man die Beiträge einfach aufintegrieren darf, und ist die Grundlage der in Mehrkanaliger Energiefluss beschriebenen Superposition.

Die vierte Annahme ist eine effektive Kopplung: Die fünf Faktoren fassen komplexe mikroskopische Vorgänge zu effektiven, mittleren Größen zusammen. $\sigma(E)$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ und $\eta_{\text{conv}}$ sind keine mikroskopischen Momentanwerte, sondern über das Ensemble der Wechselwirkungen gemittelte Kenngrößen. Diese Vergröberung macht das Rahmenwerk handhabbar, verlagert aber die physikalische Präzision in die Bestimmung dieser effektiven Werte, die letztlich am Experiment gemessen werden müssen.

Reduktion auf eine repräsentative Scheibe

In vielen praktischen Fällen sind $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ und $\eta_{\text{conv}}$ über die Integrationsdomäne annähernd konstant, und der Fluss sowie der Querschnitt sind um eine charakteristische Energie und einen charakteristischen Winkel herum konzentriert. Dann lässt sich das Doppelintegral durch den Beitrag einer einzelnen, repräsentativen Scheibe annähern. Ersetzt man die Integration durch das Produkt mit den effektiven Breiten $\Delta E$ und $\Delta\theta$, so erhält man

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\,\Delta E\,\Delta\theta .$$

Diese reduzierte Form ist keine neue Gleichung, sondern die Master-Formel unter der Näherung, dass alle Faktoren über den relevanten Bereich als konstant behandelt werden dürfen. Sie ist für Größenordnungsabschätzungen nützlich und bildet den Ausgangspunkt der Dimensionsanalyse. Man beachte, dass hier — wie im gesamten Rahmenwerk — keine konkreten Zahlenwerte behauptet werden; die Symbole stehen für effektive Größen, deren Werte im jeweiligen Anwendungsfall unabhängig zu bestimmen sind. Die volle Struktur, aus der diese Näherung hervorgeht, ist in Mathematische Architektur beschrieben.