Realce coherente y la ley N²

Una objeción recurrente a cualquier esquema de conversión continua es que la sección eficaz elemental es minúscula, de modo que el efecto agregado debe ser despreciable. Este capítulo examina una de las dos razones estructurales por las que esa intuición puede fallar —la otra, la agregación espacial, se trata en de una sola rebanada a la integral de volumen—. Aquí el punto es más sutil y puramente mecanocuántico: cuando un campo incidente interactúa coherentemente con un blanco compuesto de $N$ constituyentes, las amplitudes dispersadas se suman en fase, y la intensidad resultante escala no como $N$ sino como $N^2$. El acoplamiento efectivo $\sigma_{\text{eff}}$ que entra en la fórmula maestra es entonces drásticamente mayor que la suma ingenua de secciones eficaces independientes de un solo constituyente. Entender cuándo se sostiene este realce, y cuándo no, es esencial para toda lectura honesta del factor $\sigma(E)$ en $P(t)$.

Amplitudes, no probabilidades

El origen de la ley $N^2$ reside en una distinción que la mecánica cuántica impone y la probabilidad clásica no. La dispersión se rige en primera instancia por una amplitud compleja $f$, y la sección eficaz observable es su módulo al cuadrado, $\sigma \propto |f|^2$. Cuando un campo puede dispersarse en cualquiera de $N$ constituyentes y el proceso deja al blanco en un estado final indistinguible —de modo que no se puede, ni siquiera en principio, decir qué constituyente realizó la dispersión—, la amplitud total es la suma coherente de las amplitudes individuales $a_i$, y la sección eficaz es el módulo al cuadrado de esa suma:

$$\sigma_{\text{coh}} \;\propto\; \left| \sum_{i=1}^{N} a_i \right|^{2}.$$

Si los constituyentes son idénticos y la interacción es tal que toda amplitud porta la misma fase, $a_i = a$, la suma es simplemente $Na$, y

$$\sigma_{\text{eff}} \;\propto\; \left| \sum_{i=1}^{N} a_i \right|^{2} = |Na|^{2} = N^{2}\,|a|^{2}.$$

La sección eficaz de un solo constituyente es $|a|^2$; la sección eficaz coherente del compuesto es $N^2 |a|^2$. El factor de realce es $N$, y para un blanco con $N \sim 10^{2}$ constituyentes eso son dos órdenes de magnitud, enteramente a partir del alineamiento de fases.

El contraste incoherente

El contraste con la dispersión incoherente hace vívido el mecanismo. Supóngase, en cambio, que cada evento de dispersión deja al blanco en un estado final distinguible —un constituyente distinto retrocede, un nivel interno distinto se excita—, de modo que las alternativas no pueden interferir. Entonces se suman probabilidades, no amplitudes:

$$\sigma_{\text{incoh}} \;\propto\; \sum_{i=1}^{N} |a_i|^{2} = N\,|a|^{2}.$$

La sección eficaz incoherente crece solo linealmente en $N$. Toda la diferencia entre $N$ y $N^2$ es la diferencia entre sumar amplitudes complejas y sumar sus módulos al cuadrado: entre la interferencia que sobrevive y la interferencia que se diluye. Una manera útil de retener ambos casos a la vez: el resultado general porta un término cruzado,

$$\left| \sum_i a_i \right|^{2} = \sum_i |a_i|^2 + \sum_{i \neq j} a_i^{*} a_j ,$$

cuya segunda parte es la interferencia. Cuando las fases están alineadas, ese término cruzado es positivo y del orden de $N^2$; cuando las fases son aleatorias, promedia a cero y solo queda el escalado diagonal $N$. El caso coherente es el extremo constructivo; los blancos reales se sitúan en algún punto entre ambos, y la posición depende de la física de la interacción.

La condición de coherencia

La interferencia constructiva no es automática; se cumple solo cuando las fases realmente se alinean a lo largo del blanco, y eso impone una condición geométrica. Cada amplitud $a_i$ porta una fase $e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i}$ fijada por la transferencia de momento $\mathbf{q}$ y la posición del constituyente $\mathbf{r}_i$. Las fases son todas aproximadamente iguales —de modo que la suma es genuinamente $Na$— solo cuando $\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i$ varía poco a lo largo del blanco, es decir, cuando

$$|\mathbf{q}|\,R \;\lesssim\; 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda \;\gtrsim\; R,$$

donde $R$ es el tamaño característico del blanco compuesto y $\lambda \sim 1/|\mathbf{q}|$ la longitud de onda efectiva de la sonda. En palabras: la longitud de onda de sondeo debe ser comparable o mayor que el blanco, de modo que el campo “vea” a los constituyentes como una única unidad coherente en lugar de resolverlos individualmente. Cuando $\lambda \ll R$ las fases se dispersan por todo el rango, el término cruzado se promedia hasta desaparecer y se recupera el escalado incoherente $N$. La transición entre ambos regímenes está codificada en un factor de forma $F(\mathbf{q})$ con $F(0)=1$, de modo que en la práctica

$$\sigma_{\text{eff}}(E) \;\propto\; N^{2}\,|a(E)|^{2}\,|F(\mathbf{q})|^{2},$$

que interpola suavemente desde el realce $N^2$ pleno a baja transferencia de momento hasta valores suprimidos a medida que $\mathbf{q}R$ crece. Por eso el realce coherente es genéricamente un fenómeno de baja energía y de longitud de onda larga.

El arquetipo: dispersión elástica coherente

La realización física más limpia de esta idea —y la que merece nombrarse porque es de manual y no especulativa— es la dispersión elástica coherente en un objeto compuesto ligado. Cuando una sonda neutra se dispersa elásticamente en un núcleo de $N$ nucleones, a transferencias de momento lo bastante pequeñas para que todo el núcleo retroceda como una unidad y ningún estado interno cambie, las amplitudes nucleónicas se suman coherentemente y la sección eficaz porta exactamente el realce $N^2$ descrito arriba, modulado por el factor de forma nuclear. La misma estructura aparece en la dispersión coherente de radiación de longitud de onda larga en sistemas de materia condensada ordenados, donde la dispersión en una red periódica de sitios produce una intensidad proporcional al cuadrado del número de dispersores iluminados coherentemente. En ambos casos la lección es idéntica y neutral respecto a la tecnología: la coherencia con un blanco compuesto completo convierte un acoplamiento por constituyente en un acoplamiento por blanco que puede ser mucho mayor.

Repercusión sobre σ(E) en la fórmula maestra

La consecuencia para el marco es una advertencia frente a un error específico. En la fórmula maestra

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta,$$

el factor $\sigma(E)$ es la sección eficaz efectiva para la interacción real que importa, no la sección eficaz de un constituyente elemental aislado tomado en solitario. Si el proceso físicamente relevante es la dispersión coherente en un blanco compuesto, entonces la $\sigma(E)$ apropiada ya contiene el factor $N^2$ y la modulación del factor de forma, y estimarla a partir de un único constituyente libre la subestima en un factor $N$. El argumento corta en ambos sentidos y debe aplicarse con disciplina. El realce coherente es real y puede ser grande, pero está condicionado a que se satisfaga la condición de coherencia a la energía y la transferencia de momento relevantes; una propuesta que invoque el escalado $N^2$ debe demostrar que $\lambda \gtrsim R$ se cumple para su espectro real, no limitarse a afirmar el realce. Si una $\sigma(E)$ dada está dominada por su parte coherente o incoherente es precisamente el tipo de cuestión que el marco pretende hacer explícita en lugar de dar por supuesta; la forma e interpretación del factor de sección eficaz se desarrollan en sección eficaz de dispersión y su doble papel se desenreda en análisis de sigma. Las cuestiones empíricas abiertas que cualquier aplicación concreta debe responder —incluida la de si la coherencia se da genuinamente para un convertidor propuesto— se recogen en cuestiones científicas.

El resumen correcto no es, por tanto, ni que “la sección eficaz es diminuta, así que nada puede ocurrir” ni que “la coherencia da $N^2$, así que todo funciona”. Es que la sección eficaz elemental no es más que el término diagonal de una suma cuya interferencia fuera de la diagonal puede elevar el acoplamiento efectivo en un factor $N$ cuando —y solo cuando— se satisface la condición de longitud de onda. En este marco $\sigma(E)$ es siempre el acoplamiento efectivo apropiado para la interacción real, posiblemente coherente, y cualquier afirmación cuantitativa se sostiene o cae según se cumpla o no la condición de coherencia.

Lecturas adicionales

• Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2020). Modern Quantum Mechanics (3.ª ed.). Cambridge University Press — amplitudes de dispersión, el teorema óptico y la suma coherente de amplitudes.
• Mott, N. F., & Massey, H. S. W. (1965). The Theory of Atomic Collisions (3.ª ed.). Oxford University Press — dispersión coherente frente a incoherente y el papel de los factores de forma.
• Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics (ed. rev.), cap. 7. Addison-Wesley — tratamiento resuelto de la dispersión en un blanco compuesto y el factor de forma de la transferencia de momento.