Apéndice matemático

Este apéndice enuncia y demuestra tres resultados en los que el resto de la referencia se apoya de modo informal. Cada uno es elemental y estándar; recopilarlos aquí, con demostraciones explícitas, hace que las afirmaciones portantes del marco sean verificables en lugar de asertadas. Corresponden a los tres mecanismos desarrollados de forma narrativa en los estudios en profundidad: el refuerzo coherente, la imposibilidad en el equilibrio y la rectificación.

Lema 1 — El refuerzo coherente está acotado por N

Enunciado. Para $N$ centros de dispersión idénticos, cada uno aportando amplitud $a$, la sección eficaz efectiva satisface $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ en la dirección completamente coherente (hacia adelante) y $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$ cuando las contribuciones se suman incoherentemente, donde $\sigma_1 \propto |a|^2$. El factor de refuerzo coherente respecto al caso incoherente es, por tanto, a lo sumo $N$.

Demostración. La amplitud total de dispersión es la suma con fases $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$, donde $\mathbf{q}$ es la transferencia de momento y $\mathbf{r}_j$ las posiciones de los centros. La sección eficaz es proporcional a $|A|^2$:

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

En el límite hacia adelante $\mathbf{q}\to 0$ toda fase es la unidad, la doble suma tiene $N^2$ términos iguales, y $|A|^2 = N^2|a|^2$, lo que da $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$. Si en cambio las fases son aleatorias y no correlacionadas, los términos no diagonales promedian a cero, dejando los $N$ términos diagonales, de modo que $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ y $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$. La razón entre ambos es $N$, alcanzada solo donde las fases se alinean; para $\mathbf{q}$ finito un factor de forma $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ interpola entre ambos. $\blacksquare$

El refuerzo es, pues, real pero acotado: puede elevar una sección eficaz por partícula hasta en un factor $N$, y solo dentro de la ventana de coherencia fijada por $F(\mathbf{q})$. Este es el contenido cuantitativo tras la ley $N^2$.

Lema 2 — No hay corriente neta en el equilibrio

Enunciado. Un sistema en equilibrio térmico no produce corriente estacionaria dirigida: $\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$. En consecuencia, la eficiencia de conversión neta $\eta_{\text{conv}}$ se anula en el equilibrio, y cualquier salida no nula requiere un accionamiento de no equilibrio.

Demostración. Sea $P(x\to x')$ la tasa de transición entre microestados. El balance detallado a temperatura $T$ exige

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

con $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$. La corriente estacionaria asociada a cualquier observable antisimétrico $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ es $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$. Por (2) el corchete es cero término a término, de modo que $J=0$. De forma equivalente, el teorema de fluctuación–disipación fija el espectro de fluctuaciones de equilibrio a la respuesta disipativa a la misma $T$, sin dejar excedente que rectificar. $\blacksquare$

Este es el sentido preciso en que el marco no describe una máquina de movimiento perpetuo: en el equilibrio devuelve exactamente cero, y está definido únicamente para sistemas abiertos mantenidos lejos del equilibrio (sistemas termodinámicos abiertos).

Lema 3 — La salida dirigida requiere simetría rota

Enunciado (principio de Curie). Si la dinámica y el accionamiento de un sistema son invariantes bajo inversión espacial $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$, entonces la corriente dirigida estacionaria se anula, $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Una corriente dirigida no nula requiere, por tanto, simetría de inversión rota.

Demostración. Sea $\mathcal{P}$ la inversión espacial. La corriente es un vector polar, $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$. Si el generador de la dinámica (hamiltoniano más accionamiento, y la distribución estacionaria que induce) conmuta con $\mathcal{P}$, entonces la esperanza es invariante por inversión, $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$, de donde $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Un $\langle\mathbf{J}\rangle$ no nulo solo es posible si $\mathcal{P}$ no es una simetría — el sistema debe portar una asimetría estructural (un trinquete). $\blacksquare$

Junto con el Lema 2, esto da las dos condiciones necesarias para la salida dirigida: una simetría espacial rota (Lema 3) y un accionamiento de no equilibrio (Lema 2). Ninguna por sí sola basta — un trinquete en equilibrio sigue sin dar nada — y este par es exactamente lo que el factor de rectificación en $P(t)$ presupone (rectificación estocástica).

Qué asegura el apéndice

Los tres lemas son la columna vertebral matemática de la historia física del marco: el refuerzo es real pero está limitado a $N$ (Lema 1); el equilibrio no da nada, de modo que no se viola ninguna ley termodinámica (Lema 2); y toda salida dirigida neta exige tanto una asimetría estructural como un accionamiento de no equilibrio (Lema 3). Ninguno de ellos es física novedosa — son resultados estándar de la teoría de dispersión, la mecánica estadística y el análisis de simetrías — y ese es precisamente el punto: los pasos portantes de $P(t)$ descansan sobre matemáticas asentadas, dejando las magnitudes empíricas a la medición (medición y falsabilidad).