コヒーレント増強とN²則

いかなる連続変換方式に対しても繰り返される反論は、素過程の断面積が微小であるから集約された効果は無視できるに違いない、というものである。本章はその直観が誤りうる二つの構造的理由の一つを吟味する——もう一つ、空間的集約は単一スライスから体積積分へで扱われる。ここでの論点はより微妙で、純粋に量子力学的である。入射場が $N$ 個の構成要素からなる複合標的とコヒーレントに相互作用するとき、散乱振幅は同位相で加算され、結果として得られる強度は $N$ ではなく $N^2$ としてスケールする。このときマスター方程式に入る実効結合 $\sigma_{\text{eff}}$ は、独立な単一構成要素断面積の素朴な総和よりも劇的に大きい。この増強がいつ成り立ち、いつ成り立たないかを理解することは、$P(t)$ における $\sigma(E)$ 因子を誠実に読むために不可欠である。

確率ではなく振幅

$N^2$ 則の起源は、量子力学が強制し古典確率論が強制しない区別にある。散乱はまず第一に複素振幅 $f$ によって支配され、観測可能な断面積はその絶対値の二乗 $\sigma \propto |f|^2$ である。場が $N$ 個の構成要素のいずれとも散乱でき、その過程が標的を区別できない終状態に残すとき——原理的にすらどの構成要素が散乱を起こしたか言えないとき——全振幅は個々の振幅 $a_i$ のコヒーレント和であり、断面積はその和の絶対値の二乗である。

$$\sigma_{\text{coh}} \;\propto\; \left| \sum_{i=1}^{N} a_i \right|^{2}.$$

構成要素が同一で、相互作用がすべての振幅に同じ位相を担わせるようなものであれば、$a_i = a$ となり、和は単に $Na$ であって、

$$\sigma_{\text{eff}} \;\propto\; \left| \sum_{i=1}^{N} a_i \right|^{2} = |Na|^{2} = N^{2}\,|a|^{2}.$$

単一構成要素断面積は $|a|^2$ であり、コヒーレントな複合断面積は $N^2 |a|^2$ である。増強因子は $N$ であり、$N \sim 10^{2}$ 個の構成要素を持つ標的に対しては、それは位相の整列だけから生じる二桁である。

インコヒーレントとの対比

インコヒーレント散乱との対比がこの機構を鮮明にする。代わりに、各散乱事象が標的を区別可能な終状態に残すとしよう——異なる構成要素が反跳し、異なる内部準位が励起される——ので代替過程は干渉できない。このときは振幅ではなく確率を加算する。

$$\sigma_{\text{incoh}} \;\propto\; \sum_{i=1}^{N} |a_i|^{2} = N\,|a|^{2}.$$

インコヒーレント断面積は $N$ について線形にしか増大しない。$N$ と $N^2$ の違いのすべては、複素振幅を総和することとその絶対値の二乗を総和することの違い——干渉が生き残ることと干渉が洗い流されることの違い——である。両方の場合を同時に把握する有用な方法として、一般的な結果は交差項を担う。

$$\left| \sum_i a_i \right|^{2} = \sum_i |a_i|^2 + \sum_{i \neq j} a_i^{*} a_j ,$$

その第二の部分が干渉である。位相が整列しているとき、この交差項は正で $N^2$ のオーダーである。位相がランダムなときにはゼロへと平均され、対角の $N$ スケーリングのみが残る。コヒーレントな場合は建設的な極端であり、現実の標的は両者のどこかに位置し、その位置は相互作用の物理に依存する。

コヒーレンス条件

建設的干渉は自動的ではない。それは位相が標的全体にわたって本当に整列するときにのみ成り立ち、それは幾何学的条件を課す。各振幅 $a_i$ は、運動量移行 $\mathbf{q}$ と構成要素位置 $\mathbf{r}_i$ によって定まる位相 $e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i}$ を担う。位相がすべておよそ等しい——ので和が真に $Na$ になる——のは、$\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_i$ が標的全体にわたってほとんど変化しないとき、すなわち

$$|\mathbf{q}|\,R \;\lesssim\; 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda \;\gtrsim\; R,$$

のときのみである。ここで $R$ は複合標的の特性サイズ、$\lambda \sim 1/|\mathbf{q}|$ はプローブの実効波長である。言葉で言えば、プローブの波長が標的と同程度かそれより大きくなければならず、それによって場は構成要素を個別に分解するのではなく単一のコヒーレントな単位として「見る」。$\lambda \ll R$ のとき位相は全範囲にわたって散らばり、交差項は平均で消え、インコヒーレントな $N$ スケーリングが回復する。二つの領域の間の遷移は $F(0)=1$ を満たす形状因子 $F(\mathbf{q})$ に符号化され、実際には

$$\sigma_{\text{eff}}(E) \;\propto\; N^{2}\,|a(E)|^{2}\,|F(\mathbf{q})|^{2},$$

となり、これは低運動量移行での完全な $N^2$ 増強から、$\mathbf{q}R$ が増大するにつれて抑制された値へと滑らかに補間する。これがコヒーレント増強が一般に低エネルギー・長波長の現象である理由である。

原型:コヒーレント弾性散乱

この考え方の最も明快な物理的実現——そして思弁的ではなく教科書的であるがゆえに名を挙げるに値するもの——は、複合束縛物体からのコヒーレント弾性散乱である。中性プローブが $N$ 核子からなる原子核から弾性的に散乱し、原子核全体が単位として反跳し内部状態が変化しないほど小さな運動量移行であるとき、核子の振幅はコヒーレントに加算され、断面積は上述の $N^2$ 増強を核形状因子で変調したものを正確に担う。同じ構造は秩序ある凝縮系からの長波長放射のコヒーレント散乱にも現れ、周期的なサイト配列からの散乱はコヒーレントに照らされた散乱体の数の二乗に比例する強度を生じる。いずれの場合も教訓は同一で技術中立的である。複合標的全体とのコヒーレンスは、構成要素あたりの結合を、はるかに大きくなりうる標的あたりの結合へと変換する。

マスター方程式におけるσ(E)への含意

枠組みにとっての帰結は、特定の誤りに対する戒めである。マスター方程式

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta,$$

において、因子 $\sigma(E)$ は、孤立して取り出された単一の素過程構成要素の断面積ではなく、実際に問題となる相互作用に対する実効断面積である。物理的に関連する過程が複合標的からのコヒーレント散乱であるなら、適切な $\sigma(E)$ はすでに $N^2$ 因子と形状因子の変調を含んでおり、単一の自由構成要素からそれを見積もると $N$ の因子だけ過小評価する。この論証は双方向に切り込み、規律をもって適用されねばならない。コヒーレント増強は実在し大きくなりうるが、それは関連するエネルギーと運動量移行でコヒーレンス条件が満たされることに条件づけられる。$N^2$ スケーリングを援用する提案は、増強を単に主張するのではなく、その実際のスペクトルに対して $\lambda \gtrsim R$ が成り立つことを示さねばならない。与えられた $\sigma(E)$ がそのコヒーレント部分に支配されるのかインコヒーレント部分に支配されるのかは、まさに枠組みが仮定するのではなく明示するべき種類の問いである。断面積因子の形と解釈は散乱断面積で展開され、その二重の役割はシグマ解析で解きほぐされる。いかなる具体的応用も答えねばならない未解決の経験的問い——提案された変換器に対してコヒーレンスが真に成り立つかどうかを含む——は科学的問いにまとめられている。

したがって正しい要約は、「断面積は微小だから何も起こりえない」でもなければ「コヒーレンスが $N^2$ を与えるからすべてうまくいく」でもない。それは、素過程の断面積は総和の対角項にすぎず、その非対角の干渉が——波長条件が満たされるとき、かつそのときに限り——実効結合を $N$ の因子だけ高めうる、ということである。この枠組みにおいて $\sigma(E)$ は常に、現実の、おそらくコヒーレントな相互作用に適した実効結合であり、いかなる定量的主張もコヒーレンス条件が満たされるかどうかにかかっている。

参考文献

• Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2020). Modern Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press —— 散乱振幅、光学定理、振幅のコヒーレントな加算。
• Mott, N. F., & Massey, H. S. W. (1965). The Theory of Atomic Collisions (3rd ed.). Oxford University Press —— コヒーレント散乱対インコヒーレント散乱と形状因子の役割。
• Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics (rev. ed.), ch. 7. Addison-Wesley —— 複合標的からの散乱と運動量移行形状因子の詳細な取り扱い。