Simulación numérica

Dado que la Schubart Master Formula es una integral doble sobre energía y ángulo, evaluarla para cualquier caso concreto requiere métodos numéricos. Este capítulo describe la metodología general para hacerlo — cómo discretizar la integral, cómo suministrar las entradas y cómo confirmar que un resultado calculado ha convergido. En todo momento, el énfasis está en el método más que en números específicos; cualquier cifra mencionada es un marcador de posición ilustrativo, presentado como tal, no un resultado medido.

Discretización de la integral

El punto de partida es la representación física expandida,

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

El enfoque numérico más directo reemplaza las integrales continuas por sumas sobre una malla. El eje de energía se particiona en $N_E$ intervalos y el eje angular en $N_\theta$ intervalos, y el integrando se evalúa en puntos representativos de cada celda. Escribiendo el integrando como $f(E,\theta,t)$, una cuadratura sencilla se lee

$$P(t) \approx \sum_{i=1}^{N_E}\sum_{j=1}^{N_\theta} w_{ij}\,f(E_i,\theta_j,t)\,\Delta E_i\,\Delta\theta_j ,$$

donde $\Delta E_i$ y $\Delta\theta_j$ son las anchuras de las celdas y $w_{ij}$ son los pesos de cuadratura. Para la regla del punto medio los pesos son la unidad y los puntos de muestreo se sitúan en los centros de las celdas. Esquemas más precisos — trapezoidal, Simpson o cuadratura de Gauss–Legendre — reemplazan la evaluación en el punto medio por sumas ponderadas que reducen el error de discretización para un número dado de puntos. La elección del esquema es un compromiso estándar entre precisión y coste de evaluación, y nada en el marco favorece una cuadratura concreta sobre otra.

Estrategia de discretización y orden de convergencia

Como el dominio es un producto de los ejes de energía y de ángulo, la regla bidimensional se construye del modo más sencillo como un producto tensorial de reglas unidimensionales, una para $E$ y otra para $\theta$. Esta factorización importa tanto para el coste como para la precisión. En cuanto al coste, una malla tensorial usa $N_E \times N_\theta$ evaluaciones del integrando, de modo que refinar ambos ejes a la vez es cuadráticamente costoso; cuando un eje concentra toda la estructura — una resonancia aguda en $\sigma(E)$ a lo largo del eje de energía, por ejemplo — a menudo es mucho más barato refinar solo ese eje. En cuanto a la precisión, cada regla unidimensional tiene su propio orden de convergencia, el exponente $p$ en el escalamiento asintótico del error

$$\left| P_{\text{exact}} - P_{N} \right| \;\sim\; C\,N^{-p} ,$$

donde $N$ es el número de puntos a lo largo del eje y $C$ depende de la suavidad del integrando. Para la regla trapezoidal $p = 2$, de modo que reducir a la mitad el tamaño del paso recorta el error aproximadamente en un factor cuatro; para la regla de Simpson $p = 4$ sobre un integrando suave; y para la cuadratura de Gauss–Legendre la convergencia es aún más rápida, efectivamente exponencial para un integrando analítico sin singularidades en el dominio. Estos órdenes son exactamente los resultados clásicos tabulados en referencias estándar como Press et al., Numerical Recipes, y se trasladan a la integral doble mediante la construcción tensorial. La consecuencia práctica es que la suavidad del integrando, no el orden nominal del esquema, fija la precisión alcanzable: una regla de cuarto orden aplicada a través de una casi discontinuidad en $\sigma(E)$ degenera localmente en un comportamiento de primer orden, y el error global queda entonces dominado por esa única región mal resuelta.

Suministro de las entradas

Una simulación solo es tan significativa como sus entradas. Deben proporcionarse cuatro tipos de entrada. Primero, el modelo de flujo $\Phi(E,\theta,t)$: una descripción del espectro ambiental y de su distribución angular, bien medida, bien extraída de una distribución supuesta. Segundo, la sección eficaz $\sigma(E)$: el acoplamiento dependiente de la energía, suministrado típicamente como una función tabulada o parametrizada; su comportamiento analítico se discute en análisis de sigma. Tercero, los parámetros de transferencia de momento, transporte y eficiencia $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ y $\eta_{\text{conv}}$, que pueden ser constantes o depender ellos mismos de $E$ y $\theta$. Las definiciones y unidades de todos ellos están fijadas en definiciones de variables. Como varias de estas entradas acarrean incertidumbre, una simulación responsable propaga esa incertidumbre en lugar de reportar un único número determinista — un punto retomado en validación Monte Carlo.

Comprobación de la convergencia

La pregunta central de control de calidad para una cuadratura determinista es si el resultado ha convergido respecto a la resolución de la malla. El procedimiento estándar es calcular $P(t)$ sobre una secuencia de mallas sucesivamente más finas — duplicando $N_E$ y $N_\theta$ en cada paso — y observar cómo cambia la estimación. Cuando refinamientos sucesivos alteran el resultado en menos de una tolerancia elegida, se considera que la malla es suficiente. Una versión más cuantitativa de esta prueba usa directamente el orden de convergencia supuesto: si el error escala como $N^{-p}$, entonces calcular la integral sobre tres mallas con espaciados $h$, $h/2$ y $h/4$ y comparar las diferencias sucesivas revela tanto el orden observado como, por extrapolación de Richardson, una estimación mejorada. Escribiendo $P_h$, $P_{h/2}$, $P_{h/4}$ para los tres resultados, la razón

$$\frac{P_{h} - P_{h/2}}{P_{h/2} - P_{h/4}} \;\approx\; 2^{p}$$

debería recuperar el orden esperado; un valor lejano de $2^p$ es una advertencia de que el integrando no es tan suave como se supuso y de que no se puede confiar en la estimación de error nominal. Para un integrando suave, una cuadratura bien elegida converge rápidamente; las características agudas en $\sigma(E)$ o en el flujo, como una resonancia estrecha, exigen un muestreo más fino en la región de la característica y son una causa habitual de convergencia lenta. Los esquemas adaptativos, que subdividen las celdas allí donde una estimación de error local excede un umbral y así sitúan más puntos donde el integrando varía rápidamente, son el remedio natural.

Como ejemplo únicamente ilustrativo, cabría encontrar que aumentar la malla de energía de un ajuste grueso a uno moderadamente fino desplaza una estimación de salida de marcador de posición en unos pocos por ciento, tras lo cual un refinamiento adicional la cambia en bastante menos de un por ciento — la firma de un cálculo convergido. Tales cifras son puramente nocionales y tendrían que establecerse de nuevo para cualquier caso real; se dan aquí solo para mostrar la forma de un estudio de convergencia, no para afirmar un resultado.

Estimación y presupuesto del error

Un resultado numérico defendible viene acompañado de un presupuesto de error explícito que separa las contribuciones distintas. El error de discretización es el término $C\,N^{-p}$ de arriba, estimado en la práctica por la diferencia de refinamiento sucesivo $|P_{h/2} - P_{h/4}|$, que para una secuencia convergente acota el error restante dentro de un factor pequeño. El error de truncamiento surge de cortar el dominio de energía en un límite superior finito; está acotado por la integral de la cola despreciada, y el dominio debería extenderse hasta que esa cota caiga por debajo del error de discretización. El error de entrada, propagado desde la incertidumbre en $\Phi$, $\sigma(E)$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ y $\eta_{\text{conv}}$, suele ser el mayor de los tres y se maneja con los métodos estocásticos de validación Monte Carlo y no mediante el refinamiento de la malla. Un error común e instructivo es refinar la malla hasta la precisión de máquina mientras se ignora una incertidumbre de entrada de decenas de por ciento — pulir un número cuyo error verdadero está dominado por un factor que la cuadratura no puede tocar. La disciplina consiste en reportar las tres contribuciones y dejar que la mayor gobierne cuánto esfuerzo merece cada refinamiento adicional.

Fuentes de error numérico

Más allá del error de discretización, un practicante cuidadoso vigila unos pocos escollos recurrentes. Truncar la integral de energía demasiado pronto descarta flujo en las colas; el dominio debería extenderse hasta que el integrando sea genuinamente despreciable, como se señala en arquitectura matemática. Usar una malla angular que ignore la medida correcta — por ejemplo omitir un factor $\sin\theta$ donde una integración de ángulo sólido lo requiere — introduce un sesgo sistemático que ningún refinamiento eliminará, porque es un error en el integrando, no en su muestreo. Y interpolar una $\sigma(E)$ toscamente tabulada a través de una característica aguda puede subestimar o sobreestimar el solapamiento con el flujo. Cada uno de estos es evitable con higiene numérica estándar, y cada uno debería documentarse junto a cualquier resultado reportado.

De la evaluación determinista a la estadística

La cuadratura determinista responde a la pregunta “dadas estas entradas exactas, ¿cuál es $P(t)$?” No responde, por sí misma, a “dada la incertidumbre en estas entradas, ¿cuánta confianza deberíamos tener en $P(t)$?” Esa segunda pregunta reclama métodos estocásticos, en los que las entradas se muestrean de sus distribuciones y la integral se estima estadísticamente. Esos métodos, y los intervalos de confianza que producen, son el tema de validación Monte Carlo y análisis de sigma. Una cuadratura determinista convergida cumple también allí un segundo papel: ejecutada sobre un único conjunto fijo de entradas, es la referencia contra la que se contrasta un estimador de Monte Carlo, de modo que los dos métodos son complementarios más que alternativos.

Lecturas adicionales

• Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. y Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª ed.). Cambridge University Press — la referencia estándar para esquemas de cuadratura, orden de convergencia e integración adaptativa.
• Stoer, J. y Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3.ª ed.). Springer — tratamiento riguroso del análisis de error de cuadratura y la extrapolación de Richardson.
• Davis, P. J. y Rabinowitz, P. (1984). Methods of Numerical Integration (2.ª ed.). Academic Press — exhaustivo sobre cuadratura gaussiana e integración multidimensional.