数値シミュレーション

Schubart Master Formula はエネルギーと角度にわたる二重積分であるため、いかなる具体的な場合についてもそれを評価するには数値的手法が必要となる。本章では、そのための一般的な方法論——積分をどのように離散化するか、入力をどのように供給するか、そして計算結果が収束したことをどのように確認するか——を記述する。全体を通じて、重点は具体的な数値ではなく手法に置かれる。言及されるいかなる数値も、そのように枠づけられた例示的な仮の値であり、測定された結果ではない。

積分の離散化

出発点は拡張された物理的表現、

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

最も直接的な数値的アプローチは、連続積分を格子上の和に置き換えることである。エネルギー軸を $N_E$ 個の区間に、角度軸を $N_\theta$ 個の区間に分割し、各セルの代表点で被積分関数を評価する。被積分関数を $f(E,\theta,t)$ と書くと、単純な求積法は次のようになる。

$$P(t) \approx \sum_{i=1}^{N_E}\sum_{j=1}^{N_\theta} w_{ij}\,f(E_i,\theta_j,t)\,\Delta E_i\,\Delta\theta_j ,$$

ここで $\Delta E_i$ と $\Delta\theta_j$ はセルの幅であり、$w_{ij}$ は求積重みである。中点則では重みは単位値であり、標本点はセル中心に位置する。より精度の高い方式——台形則、シンプソン則、あるいはガウス–ルジャンドル求積法——は、中点評価を重み付き和に置き換え、与えられた点数に対して離散化誤差を低減する。方式の選択は精度と評価コストの標準的なトレードオフであり、この枠組みは特定の求積法を他より優先することはない。

離散化戦略と収束次数

領域はエネルギー軸と角度軸の積であるから、二次元の求積則は、$E$ 用と $\theta$ 用の一次元則のテンソル積として構成するのが最も単純である。この因数分解はコストと精度の両方にとって重要である。コストの面では、テンソル格子は $N_E \times N_\theta$ 回の被積分関数評価を用いるので、両軸を同時に細かくすることは二次的に高コストである。一方の軸がすべての構造を担うとき——たとえばエネルギー軸に沿った $\sigma(E)$ の鋭い共鳴——その軸だけを細かくする方がはるかに安価であることが多い。精度の面では、各一次元則はそれ自身の収束次数、すなわち漸近誤差スケーリングにおける指数 $p$ を担う。

$$\left| P_{\text{exact}} - P_{N} \right| \;\sim\; C\,N^{-p} ,$$

ここで $N$ は軸に沿った点数であり、$C$ は被積分関数の滑らかさに依存する。台形則では $p = 2$ であり、刻み幅を半分にすると誤差はおよそ四分の一になる。シンプソン則では滑らかな被積分関数に対して $p = 4$ であり、ガウス–ルジャンドル求積法では収束はさらに速く、領域内に特異点をもたない解析的被積分関数に対して実質的に指数的である。これらの次数は Press らの Numerical Recipes のような標準的な参考書に掲載された古典的結果そのものであり、テンソル構成を通じて二重積分にも引き継がれる。実用上の帰結は、方式の名目上の次数ではなく被積分関数の滑らかさが達成可能な精度を決めるということである。$\sigma(E)$ の準不連続点をまたいで適用された四次の則は、局所的には一次の振る舞いに劣化し、全体誤差はその一つの十分に解像されていない領域によって支配される。

入力の供給

シミュレーションはその入力と同程度にしか意味をもたない。四種類の入力を供給しなければならない。第一に、フラックスモデル $\Phi(E,\theta,t)$：周囲スペクトルとその角度分布の記述であり、測定されるか仮定された分布から引かれるかのいずれかである。第二に、断面積 $\sigma(E)$：エネルギー依存の結合であり、典型的には表形式かパラメータ化された関数として供給される。その解析的な振る舞いはシグマ解析で論じられる。第三に、運動量移行・輸送・効率パラメータ $\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ であり、これらは定数であることも、それ自体が $E$ と $\theta$ に依存することもある。これらすべての定義と単位は変数定義で固定される。これらの入力のいくつかは不確かさを伴うので、責任あるシミュレーションは単一の決定論的な数値を報告するのではなくその不確かさを伝播させる——これはモンテカルロ検証で取り上げられる点である。

収束の確認

決定論的求積法にとって中心的な品質管理の問いは、結果が格子解像度に関して収束したかどうかである。標準的な手順は、次第に細かくなる格子の列——各段階で $N_E$ と $N_\theta$ を倍にする——の上で $P(t)$ を計算し、見積もりがどのように変化するかを観察することである。連続する細分化が結果を選ばれた許容差より小さくしか変えなくなったとき、格子は十分と判断される。この試験のより定量的な形は、仮定された収束次数を直接用いる。誤差が $N^{-p}$ としてスケールするならば、刻み $h$、$h/2$、$h/4$ の三つの格子で積分を計算し連続する差を比較することで、観測される次数と、リチャードソン補外による改善された見積もりの両方が明らかになる。三つの結果を $P_h$、$P_{h/2}$、$P_{h/4}$ と書けば、比

$$\frac{P_{h} - P_{h/2}}{P_{h/2} - P_{h/4}} \;\approx\; 2^{p}$$

は期待される次数を回復するはずである。$2^p$ から大きく外れた値は、被積分関数が仮定ほど滑らかではなく、名目上の誤差見積もりが信頼できないという警告である。滑らかな被積分関数に対しては、適切に選ばれた求積法は急速に収束する。$\sigma(E)$ やフラックスにおける鋭い特徴、たとえば狭い共鳴は、その特徴の領域でより細かい標本化を要求し、収束が遅くなる一般的な原因である。局所誤差見積もりが閾値を超える場所でセルを細分化し、それによって被積分関数が速く変化する場所により多くの点を置く適応的方式が、自然な対処法である。

例示的な例としてのみ述べると、エネルギー格子を粗い設定から中程度に細かい設定へ増やすと仮の出力見積もりが数パーセント変化し、その後さらに細分化しても変化が一パーセントを十分下回る——これは収束した計算の兆候である——ということがあるかもしれない。そのような数値は純粋に想定上のものであり、いかなる実在の場合についても新たに確立される必要がある。ここで与えられるのはただ収束研究の形を示すためであって、結果を主張するためではない。

誤差見積もりと予算配分

弁護しうる数値結果には、異なる寄与を分離した明示的な誤差予算が伴う。離散化誤差は上記の $C\,N^{-p}$ 項であり、実用上は連続細分化の差 $|P_{h/2} - P_{h/4}|$ によって見積もられ、収束する列に対しては残余誤差を小さな因子以内に抑える。打ち切り誤差はエネルギー領域を有限の上限で切断することから生じる。これは無視された裾の積分によって抑えられ、その上限が離散化誤差を下回るまで領域を拡張すべきである。入力誤差は $\Phi$、$\sigma(E)$、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ の不確かさから伝播し、通常は三者のうち最大であり、格子の細分化によってではなくモンテカルロ検証の確率的手法によって扱われる。よくある教訓的な誤りは、数十パーセントの入力不確かさを無視しながら格子を機械精度まで細かくすること——求積法が触れることのできない因子によって真の誤差が支配されている数値を磨くこと——である。規律とは、三つの寄与すべてを報告し、最大のものにさらなる細分化がどれだけの労力に値するかを支配させることである。

数値誤差の源

離散化誤差を越えて、注意深い実践者はいくつかの再発する落とし穴を警戒する。エネルギー積分を早く打ち切りすぎると裾のフラックスを捨ててしまう。数学的構造で指摘されるように、領域は被積分関数が真に無視できるまで拡張すべきである。正しい測度を無視した角度格子を用いること——たとえば立体角積分が要求する $\sin\theta$ 因子を省くこと——は、どれだけ細分化しても取り除けない系統的バイアスを導入する。それは標本化ではなく被積分関数における誤差だからである。そして粗く表化された $\sigma(E)$ を鋭い特徴をまたいで補間すると、フラックスとの重なりを過小評価あるいは過大評価しうる。これらの各々は標準的な数値的衛生によって回避可能であり、各々は報告されるいかなる結果とともに文書化されるべきである。

決定論的評価から統計的評価へ

決定論的求積法は「これらの厳密な入力が与えられたとき $P(t)$ はいくらか」という問いに答える。それはそれ自体では「これらの入力の不確かさが与えられたとき $P(t)$ をどれだけ確信すべきか」には答えない。この第二の問いは、入力をそれらの分布から標本化し積分を統計的に見積もる確率的手法を要する。それらの手法と、それらが生み出す信頼区間は、モンテカルロ検証とシグマ解析の主題である。収束した決定論的求積法はそこで第二の役割も果たす。すなわち単一の固定された入力集合に対して実行されたとき、それはモンテカルロ推定量が照合される基準となるので、二つの手法は代替的ではなく相補的である。

さらに読む

• Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press——求積法方式、収束次数、適応的積分についての標準的な参考書。
• Stoer, J., & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis (3rd ed.). Springer——求積誤差解析とリチャードソン補外の厳密な扱い。
• Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (1984). Methods of Numerical Integration (2nd ed.). Academic Press——ガウス求積法と多次元積分についての包括的な書。