Definiciones de variables

Este capítulo ofrece una definición precisa y autocontenida de cada magnitud que aparece en la Schubart Master Formula, junto con sus unidades físicas y su papel en el integrando. Se concibe como la referencia autorizada para el significado de cada símbolo; el glosario compacto en la referencia de notación refleja estas definiciones, y la fórmula misma se enuncia en la ecuación. A modo de orientación, la master formula dice

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Cada término a continuación se define de modo que el producto del integrando y la medida de integración se reduzca a potencia, como se discute bajo consistencia dimensional en arquitectura matemática.

La magnitud de salida

$P(t)$ — Potencia de salida. Unidades: vatios [W]. Esta es la potencia eléctrica utilizable instantánea entregada por el conversor en el instante $t$. Es la magnitud que todo el marco existe para calcular. Como porta un argumento temporal, $P(t)$ se entiende como una función que rastrea el entorno ambiental fluctuante en lugar de un único número estacionario. Siempre se define en relación con una superficie de control; véase fronteras del sistema.

Los factores del integrando

$\Phi(E,\theta,t)$ — Densidad de flujo de radiación. Unidades: radiación incidente por unidad de área, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido, por unidad de energía (por ejemplo $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$). Este es el recurso ambiental: la distribución de la energía del campo incidente sobre la energía $E$, el ángulo de incidencia $\theta$ y el tiempo $t$. Lo suministra el entorno y entra al marco como una condición de frontera impuesta externamente, no como una propiedad del dispositivo. Su carácter distribuido y multiargumento es la razón por la que el marco se escribe como una integral; véase flujo de energía multicanal y el tratamiento dedicado en densidad de flujo de radiación. Nótese que $\Phi$ puede expresarse o bien como una densidad de flujo de energía o, dividiendo por la energía del cuanto $E$, como una densidad de flujo de número; las dos difieren en un factor de $E$ y la elección debe mantenerse consistente con las unidades portadas por los demás factores.

$\sigma(E)$ — Sección eficaz de dispersión. Unidades: metros cuadrados [m²]. Esta mide la fuerza de acoplamiento entre el campo incidente y el material del conversor en función de la energía. Una $\sigma(E)$ grande a una energía dada significa que el material interactúa fuertemente con el flujo a esa energía; un valor pequeño significa que el flujo pasa en gran medida sin acoplarse. Como depende de $E$, el ajuste espectral entre $\sigma(E)$ y $\Phi$ gobierna cuánta potencia puede captarse. La sección eficaz tiene una lectura física directa como área de blanco efectiva: la tasa de interacción por unidad de flujo incidente es $R = \Phi\,\sigma$, de modo que $\sigma$ es el área que el material “presenta” al flujo a esa energía. Su comportamiento analítico completo y el doble significado del símbolo $\sigma$ (sección eficaz aquí, desviación estándar en estadística) se tratan en sección eficaz de dispersión.

$\Delta p$ — Transferencia de momento. Unidades: kilogramo-metros por segundo [kg m/s]. Este es el momento neto dirigido depositado en el conversor por interacción: el término de ruptura de simetría. Se define tras promediar la parte isótropa de la transferencia de momento, de modo que $\Delta p$ representa solo el empuje dirigido que puede producir una corriente neta. Formalmente es la proyección sobre el eje de recolección $\hat{\mathbf{n}}$ del momento medio depositado, $\Delta p = \langle \mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}}\rangle$, donde el promedio recorre la distribución (posiblemente asimétrica) de canales salientes. Cuando la situación es plenamente simétrica o está en equilibrio, este promedio se anula, $\Delta p \to 0$, y la salida se anula con él —el mecanismo que mantiene al marco termodinámicamente honesto—; véase conversión de energía de no equilibrio y los detalles cinemáticos en relaciones rectoras.

$v_{\text{ph}}$ — Velocidad de los fonones. Unidades: metros por segundo [m/s]. Esta caracteriza cuán rápidamente la red cristalina transporta el momento transferido lejos del sitio de interacción. Fija la tasa a la que el momento dirigido puede recolectarse antes de que se aleatorice, y así actúa como un factor de transporte en la cadena de la interacción microscópica a la salida macroscópica. Físicamente es del orden de la velocidad del sonido en el material —para sólidos típicos unos pocos $\times 10^{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ (un orden de magnitud ilustrativo, no un valor de dispositivo)— y está acotada superiormente por el requisito de que la respuesta de la red sea causal. Su origen microscópico reside en la relación de dispersión de los fonones, tratada en la literatura del estado sólido citada abajo.

$\eta_{\text{conv}}$ — Eficiencia de conversión. Unidades: adimensional, restringida al intervalo $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$. Esta es la fracción de la energía recolectada y dirigida que se rectifica realmente en potencia eléctrica utilizable, a diferencia de perderse en calor, retrodispersión o resistencia interna. Es el único factor que absorbe todas las pérdidas agregadas del proceso de conversión real, y su rango acotado impone que el marco no pueda reportar más salida de la que el recurso y las pérdidas permiten. Allí donde pueda asignarse una diferencia de temperatura fuente–sumidero, $\eta_{\text{conv}}$ está además limitada por un techo de estilo Carnot, como se discute en sistemas termodinámicos abiertos y en eficiencia de conversión.

Las variables de integración

$E$ — Variable de energía. Unidades: energía [J] (o una unidad espectral equivalente). Esta es la variable de integración sobre el espectro ambiental. La integral de energía acumula contribuciones de cada parte del espectro donde el flujo y la sección eficaz se solapan. Sus límites inferior y superior están fijados por el soporte físico del integrando más que elegidos por conveniencia: formalmente se integra de $0$ a $\infty$, en el entendido de que el integrando es despreciable dondequiera que $\Phi(E,\theta,t)$ o $\sigma(E)$ se anulen. El cuidado con la unidad espectral es esencial, ya que la energía puede cotizarse en julios, electronvoltios, o como una frecuencia o longitud de onda; convertir entre ellas reescala $\Phi$ en consecuencia, y la auditoría de unidades de abajo debe repetirse siempre que se cambie la variable espectral.

$\theta$ — Variable angular. Unidades: ángulo [rad] (o ángulo sólido cuando se incluye la medida apropiada). Esta es la variable de integración sobre la dirección de incidencia. La integral angular agrega contribuciones que llegan desde distintas direcciones y es donde entra al balance cualquier anisotropía del flujo ambiental. Cuando $\theta$ se trata como un ángulo polar, una integración físicamente completa porta el peso de ángulo sólido $\sin\theta$ habitual y, para un colector plano, una proyección $\cos\theta$ adicional; el marco deja estas medidas explícitas para que la correcta para una geometría dada pueda suministrarse sin alterar la estructura de la fórmula.

Valores de parámetro establecidos frente a propuestos

Una distinción práctica crucial recorre cada una de estas definiciones. Para un conversor establecido —una celda fotovoltaica, una unión termoeléctrica— los valores numéricos de $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ y $\eta_{\text{conv}}$ se conocen por medición, y el marco simplemente los organiza. Para un conversor propuesto cuyo mecanismo de acoplamiento no ha sido confirmado experimentalmente —un dispositivo neutrinovoltaic es uno de tales casos— uno o más de estos parámetros es una entrada del modelo en lugar de una magnitud medida. El marco no distingue los dos casos en su estructura, y eso es deliberado: se aplica la misma fórmula, pero el estatus epistémico de la salida difiere por completo. Cuando un factor es un marcador de posición, el $P(t)$ resultante es una predicción condicional (“si $\sigma$ toma este valor, entonces la potencia es esta”), no una salida demostrada. Mantener esta distinción visible —nunca promover calladamente un parámetro supuesto a uno medido— es parte de la disciplina que el marco está destinado a imponer.

Interdependencia de los factores

Aunque los factores se escriben como si fueran independientes —que es lo que hace al marco útil para aislar cuellos de botella— varios de ellos están físicamente ligados, y una aplicación cuidadosa mantiene esos lazos a la vista. La sección eficaz $\sigma(E)$ y la transferencia de momento $\Delta p$ ambas derivan de la misma interacción subyacente: la física de dispersión que determina cuán fuertemente se acopla el campo también determina cuánto momento y en qué dirección se deposita. De forma similar, la velocidad de los fonones $v_{\text{ph}}$ y la eficiencia de conversión $\eta_{\text{conv}}$ están ligadas a través del tiempo de dispersión que gobierna tanto cuán lejos viaja el momento dirigido como cuánto se pierde en calor. Tratar los cinco factores como independientes es una aproximación de primer orden, válida cuando los acoplamientos entre ellos son débiles; allí donde no lo sean, los factores deben co-determinarse a partir de un modelo microscópico común en lugar de asignarse por separado. Enunciar los factores por separado no niega estos lazos —los expone—, de modo que un analista sepa qué parámetros no pueden variarse de forma aislada. Esta es la diferencia entre un marco que meramente agrupa todo en un coeficiente y uno que mantiene la física legible.

Lectura de los factores en conjunto

Tomadas en conjunto, las definiciones describen una tubería: un recurso distribuido ($\Phi$) se acopla ($\sigma$), se convierte en momento dirigido ($\Delta p$), se transporta ($v_{\text{ph}}$) y se rectifica ($\eta_{\text{conv}}$), con el total acumulado sobre energía y ángulo. Mantener estas definiciones y unidades fijas a través de todos los capítulos es lo que permite que el marco se aplique de forma consistente, ya sea a un conversor establecido o a uno propuesto —como un dispositivo neutrinovoltaic— cuyos parámetros aún son inciertos.

Auditoría de unidades de un vistazo

Recopilar las unidades confirma que el integrando por la medida produce potencia. Escribiendo $\Phi$ en $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$, el producto de los factores del integrando y la medida $dE\,d\theta$ (en $\mathrm{J\,sr}$) es

$$\underbrace{\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}}_{\Phi}\cdot\underbrace{\mathrm{m^{2}}}_{\sigma}\cdot\underbrace{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}_{\Delta p}\cdot\underbrace{\mathrm{m\,s^{-1}}}_{v_{\text{ph}}}\cdot\underbrace{1}_{\eta_{\text{conv}}}\cdot\underbrace{\mathrm{J\,sr}}_{dE\,d\theta} .$$

Los $\mathrm{m^{-2}}$ y $\mathrm{m^{2}}$ se cancelan, igual que $\mathrm{sr^{-1}}$ y $\mathrm{sr}$ y $\mathrm{J^{-1}}$ y $\mathrm{J}$, dejando $\mathrm{W}$ multiplicado por el residuo $\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}$ de $\Delta p\,v_{\text{ph}}$. Una realización concreta, por tanto, suministra una constante de proporcionalidad (con unidades $\mathrm{J^{-1}}$, es decir, una normalización de energía inversa a partir de la cinemática de la interacción) de modo que la expresión completa cierre exactamente a vatios. La auditoría completa se lleva a cabo en análisis dimensional.

Lectura adicional

• N. W. Ashcroft y N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Definiciones de velocidad de los fonones, dispersión y transporte en la red.
• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2005). Tratamiento accesible de los fonones y la velocidad del sonido en sólidos.
• J. R. Taylor, Scattering Theory (Wiley, 1972; reimpresión Dover 2006). Definición rigurosa de la sección eficaz de dispersión $\sigma(E)$.
• B. N. Taylor y A. Thompson (eds.), The International System of Units (SI), NIST Special Publication 330 (2008). Referencia autorizada para las unidades usadas en todo el texto.