动量转移

动量转移 $\Delta p$ 是 Schubart Master Formula 中把相互作用转化为方向的因子。单凭耦合,无论多强,只产生扰动;一台转换器要输送功率,就必须从入射场中提取一个净有向的推力。$\Delta p$ 就是那个有向推力,它是承载框架热力学良知的项:当情形对称时,$\Delta p$ 消失,输出也随之消失。它在方程页中出现为

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

层次 1 —— 直观

设想一群人在广场上挤来挤去,人人都在推搡他人。运动不少,碰撞不少,但人群作为整体却哪儿也去不了:朝一个方向的每次推挤都被朝另一个方向的推挤抵消。现在把广场稍稍倾斜,或在一侧开一个出口。忽然间,同样的推搡获得了一种偏向——朝低侧或朝敞开的门缓慢净漂移。$\Delta p$ 是对每次相互作用那个净漂移的度量。它不是所交换的总动量(后者可能很大);它只是在相反方向的推挤相互抵消之后存留下来的那一部分。

这一区分是该因子的核心。一台转换器可以被强烈的场轰击、相当程度地升温,却不产生任何可用功率,因为它所吸收的动量是对称的——来自左边的和来自右边的一样多。只有当几何、材料或场本身破缺了那种对称性,使每次相互作用都留下一份指向某一方的动量残余时,功率才出现。$\Delta p$ 之所以重要,是因为它正是把仅仅发热的器件与真正整流的器件区分开来的因子。

层次 2 —— 物理

从物理上说,$\Delta p$ 是每次相互作用沉积进转换器的净有向动量,它在动量交换的各向同性部分被平均掉之后定义。在单次散射事件中可能转移大量动量,但若事件朝任意方向推挤的可能性均等,它们的矢量和便趋于零。$\Delta p$ 孤立出那有向的余量。因此它的存在要求一个破缺的对称性:入射通量中的各向异性、材料中的结构性不对称、一个不对称的相互作用势,或它们的某种组合。没有这样的对称性破缺,$\Delta p \to 0$。

这正是使框架与热力学相容的东西。一个与其环境处于真正平衡的系统,按定义没有净方向性偏向;在那里,$\Delta p$ 消失,公式正确地预测无输出。只有一个被驱动偏离平衡的系统——一个与本身失衡的环境交换的系统——才能维持非零的 $\Delta p$。这把动量转移直接联系到框架在非平衡能量转换中的基础:有向动量是非平衡驱动的微观印记。许可非零 $\Delta p$ 的角度结构,由辐射通量密度的各向异性与材料几何共同提供。

在量值上,每次相互作用的 $\Delta p$ 很小——它是一个携带动量量纲的单事件量——正是许多这样的事件按相互作用率加权的累积,才产生宏观电流。$\Delta p$ 的符号编码方向:把对称性破缺反转,有向动量、从而电流,也随之反转。

层次 3 —— 数学

动量转移携带动量的 SI 量纲,

$$[\Delta p] = \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} .$$

从概念上说它是一个差——一个增量——即一次相互作用所赋予的动量与该动量对所有方向的各向同性平均之间的差:

$$\Delta p = \big\langle \mathbf{p}_{\text{out}} - \mathbf{p}_{\text{in}} \big\rangle_{\text{directed}} ,$$

其中尖括号表示在各向同性部分被移除之后向收集方向的投影。当相互作用在关于该方向的反射下对称时,平均为零,$\Delta p = 0$。当某个对称性被破缺时,一个有限的有向分量得以存留。

在被积函数内,$\Delta p$ 充当从矢量到标量的桥梁:它把由 $\Phi$ 和 $\sigma(E)$ 提供的相互作用率,转化为有向动量沉积的速率。因此,乘积 $\Phi\,\sigma\,\Delta p$ 具有有向力密度的性质,即按单位能量和角度累积的、每单位时间的动量,随后由输运因子声子速度和转换效率携带它走向可用功率。平衡极限是本质性的核验:当环境趋近平衡、每个角度贡献都找到一个大小相等、方向相反的伙伴时,$\Phi\,\sigma\,\Delta p$ 对 $d\theta$ 的角度积分趋于零,纵使 $\Phi$ 和 $\sigma$ 各自仍然很大。因此,无论平衡场多么强烈,框架都不会从中报告输出。精确的单位与作用在变量定义中编目,对称性论证在完整推导中完整展开。

在平衡之中

$\Delta p$ 取散射截面所容许的相互作用,并从中提取唯一能够成为电流的有向分量;没有它,这条流水线输送的是热,而非功率。它的量值取决于辐射通量密度所携带的角度各向异性,而它所产生的有向动量,唯有在声子速度能在随机化之前将其输运走的限度内才有用。$\Delta p$ 正是对称性破缺进入公式之处,也是平衡态被禁止产出自由能之处。

参考文献

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, 3rd ed. (Pergamon Press, 1980). 关于细致平衡以及平衡态下净有向通量消失的处理。
• N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, 3rd ed. (North-Holland, 2007). 关于破缺的对称性与非平衡驱动如何产生净有向输运的奠基性论述。
• H. B. Callen and T. A. Welton, “Irreversibility and Generalized Noise,” Physical Review 83, 34 (1951). 涨落–耗散定理,支撑了有向转移为何需要偏离平衡。