運動量移行

運動量移行 $\Delta p$ は、Schubart Master Formula において相互作用を方向へと変える因子である。結合だけでは、どれほど強くても撹拌しか生み出さない。変換器が出力を供給するためには、入射場から正味の指向性の押しを引き出さねばならない。$\Delta p$ はその指向性の押しであり、枠組みの熱力学的な良心を担う項である。すなわち、状況が対称であるとき $\Delta p$ は消失し、出力もまた消失する。それは方程式において次のように立つ。

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

深度1 — 直観

広場で群衆がうごめき、誰もが互いに押し合っている様子を思い浮かべてほしい。動きはふんだんにあり、衝突もふんだんにあるが、群衆全体はどこにも行かない。一方向への一つの押しは、反対方向への一つの押しによって打ち消されるからである。さて、広場をわずかに傾けるか、片側に出口を開ける。すると同じ押し合いが偏りを帯びる——低い側や開いた戸口に向かうゆっくりとした正味のドリフトである。$\Delta p$ は、相互作用あたりのその正味のドリフトの尺度である。それは交換される全運動量ではなく——それは大きいかもしれない——反対方向への押しが打ち消し合った後に生き残る部分だけである。

この区別が因子の核心である。変換器は強烈な場に打たれてかなり温まりながら、利用可能な出力を何も生み出さないことがありうる。なぜなら、それが吸収する運動量は対称だからである——左から来るのと同じだけ右から来る。出力は、幾何、材料、または場そのものがその対称性を破り、各相互作用が一方向を指す運動量の残余を後に残すときにのみ現れる。$\Delta p$ が重要なのは、それが単に温めるだけのデバイスと、実際に整流するデバイスとを区別する因子だからである。

深度2 — 物理

物理的には、$\Delta p$ は、運動量交換の等方的な部分が平均化されて除かれた後に、相互作用あたりに変換器へと付与される正味の指向性運動量である。一回の散乱事象では大量の運動量が移行されうるが、事象がどの方向へも等しく押しやすいならば、そのベクトル和はゼロに向かう傾向がある。$\Delta p$ は指向性の残余を切り出す。したがってその存在は破れた対称性を要する。すなわち、入射フラックスの異方性、材料の構造的非対称性、非対称な相互作用ポテンシャル、あるいはそれらの組み合わせである。そのような対称性の破れがなければ $\Delta p \to 0$ となる。

これが枠組みを熱力学と整合させるものである。周囲と真の平衡にある系は、定義により正味の方向的な偏りを持たない。そこでは $\Delta p$ は消失し、公式は出力がないことを正しく予測する。平衡から遠ざけて駆動された系——それ自体が均衡から外れた環境と交換する系——だけが、ゼロでない $\Delta p$ を維持できる。これは運動量移行を枠組みの基礎である非平衡エネルギー変換に直接結びつける。すなわち、指向性運動量は非平衡駆動の微視的な足跡である。ゼロでない $\Delta p$ を許す角度構造は、放射フラックス密度の異方性と材料の幾何によって共同で供給される。

大きさの点では、相互作用あたりの $\Delta p$ は小さい——それは運動量の次元を担う単一事象の量である——そして巨視的な電流を生み出すのは、相互作用率で重み付けされた、そのような多数の事象の蓄積である。$\Delta p$ の符号は方向を符号化する。対称性の破れを反転させれば指向性運動量が、したがって電流が、それとともに反転する。

深度3 — 数学

運動量移行は運動量の SI 次元を担う。

$$[\Delta p] = \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} .$$

概念的には、それは差——デルタ——であり、相互作用が付与する運動量と、全方向にわたるその運動量の等方的な平均との間の差である。

$$\Delta p = \big\langle \mathbf{p}_{\text{out}} - \mathbf{p}_{\text{in}} \big\rangle_{\text{directed}} ,$$

ここで山括弧は、等方的な部分を除いた後の集収方向への射影を表す。相互作用がその方向についての反射のもとで対称であるとき、平均はゼロであり $\Delta p = 0$ となる。対称性が破れると、有限の指向性成分が生き残る。

被積分関数の内部で、$\Delta p$ はベクトルからスカラーへの橋として作用する。すなわち、$\Phi$ と $\sigma(E)$ によって供給される相互作用の率を、指向性運動量付与の率へと変換する。したがって積 $\Phi\,\sigma\,\Delta p$ は、指向性の力の密度——単位エネルギーと角度あたりに単位時間あたりに蓄積される運動量——の性格を持ち、これを輸送因子であるフォノン速度と変換効率がそれから利用可能な出力へと運ぶ。平衡極限が本質的な検査である。環境が均衡に近づき、すべての角度寄与が等しく反対の相方を見出すにつれて、$\Phi\,\sigma\,\Delta p$ の $d\theta$ にわたる角度積分は、$\Phi$ と $\sigma$ が個別には大きいままでもゼロに向かう。したがって枠組みは、その場がどれほど強烈であろうと、平衡場からの出力を報告できない。正確な単位と役割は変数の定義に目録化され、対称性の議論は完全な導出で完全に展開される。

収支の中で

$\Delta p$ は散乱断面積が許した相互作用をとり、そこから、ひとり電流になりうる指向性成分を引き出す。それなしには、パイプラインは熱を供給するが出力は供給しない。その大きさは放射フラックス密度が担う角度の異方性に依存し、それが生み出す指向性運動量は、フォノン速度がランダム化の前にそれを運び去れる限りにおいてのみ有用である。$\Delta p$ は、対称性の破れが公式に入る場所であり、平衡が自由エネルギーを生み出すことを禁じられる場所である。

参考文献

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, 3rd ed. (Pergamon Press, 1980). 詳細釣り合いと、平衡における正味指向性フラックスの消失の取り扱い。
• N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, 3rd ed. (North-Holland, 2007). 破れた対称性と非平衡駆動がどのように正味の指向性輸送を生み出すかの基礎的な説明。
• H. B. Callen and T. A. Welton, “Irreversibility and Generalized Noise,” Physical Review 83, 34 (1951). ゆらぎ散逸定理。指向性移行がなぜ平衡からの逸脱を要するかを支える。