Dimensionsanalyse

Eine notwendige Bedingung dafür, dass eine physikalische Gleichung überhaupt sinnvoll ist, ist ihre dimensionale Konsistenz: Beide Seiten müssen dieselbe Einheit tragen. Dieses Kapitel führt die Einheiten-Durchrechnung der Schubart Master-Formel $P(t)$ vollständig durch. Es zeigt Faktor für Faktor, welche SI-Einheit jeder Term trägt, wie sich diese Einheiten beim Zusammensetzen des Integranden und der Integrationsmaße gegenseitig kürzen und dass am Ende die Einheit der Leistung — das Watt — verbleibt. Abschließend wird ein rein illustratives Größenordnungs-Beispiel gerechnet, in dem alle Zahlen ausdrücklich als Platzhalter zur Veranschaulichung und nicht als behauptete Messwerte zu verstehen sind.

Ausgangspunkt: das Watt

Die gesuchte Größe $P(t)$ ist eine Leistung. Ihre SI-Einheit ist das Watt, das sich in Basiseinheiten wie folgt zerlegt:

$$[\,P\,] = \text{W} = \text{J}\,\text{s}^{-1} = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-3}.$$

Damit ist das Ziel der Rechnung festgelegt: Der Integrand der Master-Formel, multipliziert mit den Integrationsmaßen $dE$ und $d\theta$, muss genau diese Einheit ergeben. Als Bezugspunkt für die Herleitung dient die reduzierte Form aus der vollständigen Herleitung,

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\,\Delta E\,\Delta\theta ,$$

da in ihr die Integrationsmaße als explizite Faktoren $\Delta E$ und $\Delta\theta$ auftreten und die Einheitenbilanz unmittelbar ablesbar ist.

Die Einheit jedes Faktors

Jeder der Faktoren trägt eine wohldefinierte SI-Einheit. Sie werden hier einzeln aufgeführt.

Die Flussdichte $\Phi(E,\theta,t)$ ist pro Fläche, pro Zeit, pro Raumwinkel und pro Energie definiert. Ihre Einheit ist folglich

$$[\,\Phi\,] = \text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}\,\text{sr}^{-1}\,\text{J}^{-1}.$$

Der Streuquerschnitt $\sigma(E)$ hat die Dimension einer Fläche:

$$[\,\sigma\,] = \text{m}^{2}.$$

Der Impulsübertrag $\Delta p$ trägt die Einheit eines Impulses:

$$[\,\Delta p\,] = \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.$$

Die Phononengeschwindigkeit $v_{\text{ph}}$ trägt die Einheit einer Geschwindigkeit:

$$[\,v_{\text{ph}}\,] = \text{m}\,\text{s}^{-1}.$$

Der Wandlungswirkungsgrad $\eta_{\text{conv}}$ ist ein reiner Bruchteil und damit dimensionslos:

$$[\,\eta_{\text{conv}}\,] = 1.$$

Schließlich tragen die beiden Integrationsmaße die Einheiten ihrer jeweiligen Variablen. Das Energiemaß trägt die Einheit einer Energie und das Winkelmaß die Einheit eines Raumwinkels:

$$[\,dE\,] = \text{J}, \qquad [\,d\theta\,] = \text{sr}.$$

Hier ist eine Konvention zu beachten: Der Raumwinkel wird in Steradiant ($\text{sr}$) gezählt, das im SI-System eine abgeleitete Einheit mit dem Zahlenwert eins ist. Für die Bilanz wird $\text{sr}$ zunächst als eigenständiges Symbol mitgeführt, damit die Kürzung gegen das $\text{sr}^{-1}$ der Flussdichte sichtbar wird.

Die Kürzung zum Watt

Setzt man alle Einheiten in das Produkt ein, so erhält man die vollständige Bilanz:

$$[\,P\,] = \underbrace{\left(\text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}\,\text{sr}^{-1}\,\text{J}^{-1}\right)}_{\Phi}\cdot \underbrace{\text{m}^{2}}_{\sigma}\cdot \underbrace{\left(\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\right)}_{\Delta p}\cdot \underbrace{\left(\text{m}\,\text{s}^{-1}\right)}_{v_{\text{ph}}}\cdot \underbrace{1}_{\eta}\cdot \underbrace{\text{J}}_{dE}\cdot \underbrace{\text{sr}}_{d\theta}.$$

Nun werden die gleichartigen Einheiten paarweise gekürzt. Die Fläche $\text{m}^{2}$ des Querschnitts kürzt sich gegen das $\text{m}^{-2}$ der Flussdichte. Die Energie $\text{J}$ des Energiemaßes kürzt sich gegen das $\text{J}^{-1}$ der Flussdichte. Der Raumwinkel $\text{sr}$ des Winkelmaßes kürzt sich gegen das $\text{sr}^{-1}$ der Flussdichte. Nach diesen drei Kürzungen verbleibt:

$$[\,P\,] = \text{s}^{-1}\cdot \left(\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\right)\cdot \left(\text{m}\,\text{s}^{-1}\right) = \text{kg}\,\text{m}^{2}\,\text{s}^{-3}.$$

Das ist genau die Einheit des Watt. Damit ist die dimensionale Konsistenz der Master-Formel bewiesen. Die drei Kürzungen sind kein Zufall, sondern strukturell: Die Flussdichte ist gerade so definiert, dass sie die Einheiten der Fläche, der Energie und des Raumwinkels invers trägt, sodass Querschnitt, Energiemaß und Winkelmaß sie exakt aufheben. Übrig bleibt das Produkt aus Impulsübertrag und Geschwindigkeit, geteilt durch eine Zeit — und dieses Produkt hat gerade die Dimension einer Leistung, denn ein Impuls mal eine Geschwindigkeit ergibt eine Energie ($\text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-2} = \text{J}$), und diese Energie pro Zeit ist eine Leistung.

Warum Impuls mal Geschwindigkeit eine Energierate ergibt

Es lohnt sich, den verbleibenden Kern der Bilanz noch einmal gesondert zu betrachten, weil er die physikalische Aussage der Rechnung trägt. Das Produkt $\Delta p \cdot v_{\text{ph}}$ hat die Einheit

$$[\,\Delta p \cdot v_{\text{ph}}\,] = \left(\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}\right)\left(\text{m}\,\text{s}^{-1}\right) = \text{kg}\,\text{m}^{2}\,\text{s}^{-2} = \text{J}.$$

Ein gerichteter Impulsübertrag, der mit der Transportgeschwindigkeit weiterläuft, trägt also eine Energie. Der übrige Teil der Formel — Flussdichte, Querschnitt und die beiden Maße — liefert die Rate, mit der solche Ereignisse pro Zeit stattfinden, indem die Zeiteinheit $\text{s}^{-1}$ der Flussdichte übrig bleibt. Energie mal Rate ergibt Leistung. Die dimensionale Struktur spiegelt damit genau die physikalische Erzählung aus der vollständigen Herleitung wider: Ereignisrate mal Energie pro Ereignis gleich Leistung.

Ein illustratives Größenordnungs-Beispiel

Um die Bilanz greifbar zu machen, wird nun ein Zahlenbeispiel gerechnet. Alle folgenden Werte sind rein illustrative Platzhalter, gewählt zur Veranschaulichung der Einheitenrechnung. Sie sind keine gemessenen oder behaupteten physikalischen Größen und dürfen nicht als solche gelesen werden. Der Zweck ist ausschließlich, zu zeigen, dass sich die Einheiten zu Watt zusammensetzen.

Man setze illustrativ eine integrierte Flussdichte, die nach Ausführung der Energie- und Winkelintegration den Wert $\Phi\,\Delta E\,\Delta\theta \sim 10^{20}\ \text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}$ ergibt — also eine Rate einfallender Quanten pro Fläche und Zeit. Man setze ferner illustrativ einen Querschnitt $\sigma \sim 10^{-30}\ \text{m}^{2}$, einen Impulsübertrag $\Delta p \sim 10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, eine Phononengeschwindigkeit $v_{\text{ph}} \sim 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ und einen Wirkungsgrad $\eta_{\text{conv}} \sim 10^{-1}$. Das Produkt der Größenordnungen lautet dann:

$$P \sim 10^{20}\cdot 10^{-30}\cdot 10^{-25}\cdot 10^{3}\cdot 10^{-1}\ \text{W} = 10^{-33}\ \text{W}.$$

Der Zahlenwert selbst ist bedeutungslos, weil die Eingangsgrößen frei gewählt wurden; entscheidend ist allein, dass das Ergebnis die Einheit Watt trägt und dass eine Änderung einer beliebigen Eingangsgröße um eine Größenordnung das Ergebnis um genau eine Größenordnung verschiebt. Diese lineare Sensitivität in jedem Faktor folgt unmittelbar aus der multiplikativen Struktur und macht Größenordnungsabschätzungen einfach durchführbar. Wie eine solche Abschätzung in eine belastbare Aussage überführt werden müsste — durch unabhängige Bestimmung jedes Faktors und Fehlerfortpflanzung — ist in Sigma-Analyse und Monte-Carlo-Validierung beschrieben. Die dimensionale Konsistenz allein garantiert nur die formale Wohldefiniertheit von $P(t)$, nicht die physikalische Richtigkeit der eingesetzten Werte; letztere ist Gegenstand der wissenschaftlichen Fragen.