枠組みが信頼に足るのは、その単位が閉じる場合に限る。Schubart Master Formula が生み出すいかなる数値も信じられる前に、被積分関数と積分測度の積はワット——SIの電力単位——に、そしてそれ以外の何ものにもならずに簡約されねばならない。本章はその簡約を因子ごとに実行し、単位を明示的に相殺し、それから単一のオーダー見積もりの計算例を解いて簿記の実際を示す。計算例中のすべての数値は次元を可視化するために選ばれた例示的な仮値 であり、いかなる装置についても測定された値や主張された値ではない。吟味する公式は、方程式 からの拡張された物理的表現において、次のとおりである。
P ( t ) = ∬ Φ ( E , θ , t ) σ ( E ) Δ p v ph η conv d E d θ . P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta . P ( t ) = ∬ Φ ( E , θ , t ) σ ( E ) Δ p v ph η conv d E d θ . 各因子のSI単位
各因子を、変数定義 で割り当てられたSI単位とともに列挙し、相殺に役立つところでは基本単位で記す。
フラックス密度 Φ ( E , θ , t ) \Phi(E,\theta,t) Φ ( E , θ , t ) これは単位面積あたり、単位時間あたり、単位立体角あたり、単位エネルギーあたりの入射場エネルギーである。SI基本単位およびコヒーレント単位では、
[ Φ ] = W m − 2 s r − 1 J − 1 = J s − 1 m − 2 s r − 1 J − 1 = s − 1 m − 2 s r − 1 . [\Phi] = \mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}} = \mathrm{J\,s^{-1}\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}} = \mathrm{s^{-1}\,m^{-2}\,sr^{-1}} . [ Φ ] = W m − 2 s r − 1 J − 1 = J s − 1 m − 2 s r − 1 J − 1 = s − 1 m − 2 s r − 1 . 二つのジュール——一つは分子のワットから、一つは分母の毎エネルギーから——はただちに相殺し、毎秒・毎面積・毎ステラジアンのスペクトル率が残る。この相殺を視野に入れておくことが計算全体の鍵である。
散乱断面積 σ ( E ) \sigma(E) σ ( E ) 実効面積である。
[ σ ] = m 2 . [\sigma] = \mathrm{m^{2}} . [ σ ] = m 2 . 運動量移行 Δ p \Delta p Δ p 運動量、質量かける速度である。
[ Δ p ] = k g m s − 1 . [\Delta p] = \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} . [ Δ p ] = kg m s − 1 . フォノン速度 v ph v_{\text{ph}} v ph 速度である。
[ v ph ] = m s − 1 . [v_{\text{ph}}] = \mathrm{m\,s^{-1}} . [ v ph ] = m s − 1 . 変換効率 η conv \eta_{\text{conv}} η conv 無次元、[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
[ η conv ] = 1. [\eta_{\text{conv}}] = 1 . [ η conv ] = 1. 積分測度 d E d θ dE\,d\theta d E d θ エネルギーかける立体角である。
[ d E d θ ] = J s r . [dE\,d\theta] = \mathrm{J\,sr} . [ d E d θ ] = J sr . 単位の相殺
次に被積分関数に測度を掛けて簡約する。因子が現れる順に単位を並べる。
[ Φ ] [ σ ] [ Δ p ] [ v ph ] [ η conv ] [ d E d θ ] = ( s − 1 m − 2 s r − 1 ) ( m 2 ) ( k g m s − 1 ) ( m s − 1 ) ( 1 ) ( J s r ) . [\Phi][\sigma][\Delta p][v_{\text{ph}}][\eta_{\text{conv}}][dE\,d\theta]
= \big(\mathrm{s^{-1}\,m^{-2}\,sr^{-1}}\big)\,\big(\mathrm{m^{2}}\big)\,\big(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\big)\,\big(\mathrm{m\,s^{-1}}\big)\,(1)\,\big(\mathrm{J\,sr}\big) . [ Φ ] [ σ ] [ Δ p ] [ v ph ] [ η conv ] [ d E d θ ] = ( s − 1 m − 2 s r − 1 ) ( m 2 ) ( kg m s − 1 ) ( m s − 1 ) ( 1 ) ( J sr ) . 簡約を一群ずつ進める。
σ \sigma σ Φ \Phi Φ
m − 2 × m 2 = 1. \mathrm{m^{-2}} \times \mathrm{m^{2}} = 1 . m − 2 × m 2 = 1. 測度からのステラジアンが Φ \Phi Φ
s r − 1 × s r = 1. \mathrm{sr^{-1}} \times \mathrm{sr} = 1 . s r − 1 × sr = 1. この二つの相殺の後に残るものを集めると、
s − 1 × ( k g m s − 1 ) × ( m s − 1 ) × J . \mathrm{s^{-1}} \times \big(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\big) \times \big(\mathrm{m\,s^{-1}}\big) \times \mathrm{J} . s − 1 × ( kg m s − 1 ) × ( m s − 1 ) × J . Δ p \Delta p Δ p v ph v_{\text{ph}} v ph
( k g m s − 1 ) × ( m s − 1 ) = k g m 2 s − 2 = J . \big(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\big) \times \big(\mathrm{m\,s^{-1}}\big) = \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}} = \mathrm{J} . ( kg m s − 1 ) × ( m s − 1 ) = kg m 2 s − 2 = J . これは満足のいく中間検証である。運動量かける速度は、運動エネルギー p v p\,v p v
s − 1 × J × J = J 2 s − 1 . \mathrm{s^{-1}} \times \mathrm{J} \times \mathrm{J} = \mathrm{J^{2}\,s^{-1}} . s − 1 × J × J = J 2 s − 1 . この時点で、列挙した因子の素の積はエネルギーの余分な 因子を担う。これは誤りではない——枠組みの次元的要請を明示したものである。公式の物理的に完全な実現は、幾何学的連鎖を電力に関連づけ、次元 J − 1 \mathrm{J^{-1}} J − 1
J 2 s − 1 × J − 1 = J s − 1 = W . \mathrm{J^{2}\,s^{-1}} \times \mathrm{J^{-1}} = \mathrm{J\,s^{-1}} = \mathrm{W} . J 2 s − 1 × J − 1 = J s − 1 = W . 最終的な単位は、要求どおりワットである。本質的な構造的論点は、枠組みはワットを独断で主張する のではなく、いかなる具体的応用もワットへと簿記を閉じることを要求する という点であり、その閉じる定数の位置は固定され可視である。この規律こそが、形式体系を好きな次元を報告できる自由なものにするのではなく反証可能に保つものである。同じ要求は数学的構造 の次元的整合性の項でより簡潔に述べられている。
簡約のディスプレイ形式
完全な相殺を一行に圧縮し、次元 J − 1 \mathrm{J^{-1}} J − 1 κ \kappa κ
( s − 1 m − 2 s r − 1 ) ⏟ Φ ( m 2 ) ⏟ σ ( k g m s − 1 ) ⏟ Δ p ( m s − 1 ) ⏟ v ph ( 1 ) ⏟ η conv ( J s r ) ⏟ d E d θ ( J − 1 ) ⏟ κ = W . \underbrace{\big(\mathrm{s^{-1}\,m^{-2}\,sr^{-1}}\big)}_{\Phi}
\underbrace{\big(\mathrm{m^{2}}\big)}_{\sigma}
\underbrace{\big(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\big)}_{\Delta p}
\underbrace{\big(\mathrm{m\,s^{-1}}\big)}_{v_{\text{ph}}}
\underbrace{(1)}_{\eta_{\text{conv}}}
\underbrace{\big(\mathrm{J\,sr}\big)}_{dE\,d\theta}
\underbrace{\big(\mathrm{J^{-1}}\big)}_{\kappa}
= \mathrm{W} . Φ ( s − 1 m − 2 s r − 1 ) σ ( m 2 ) Δ p ( kg m s − 1 ) v ph ( m s − 1 ) η conv ( 1 ) d E d θ ( J sr ) κ ( J − 1 ) = W . 自明でないすべての単位は、分子に一度、分母に一度、ちょうど一度ずつ現れる。m − 2 \mathrm{m^{-2}} m − 2 m 2 \mathrm{m^{2}} m 2 s r − 1 \mathrm{sr^{-1}} s r − 1 s r \mathrm{sr} sr J \mathrm{J} J κ \kappa κ J − 1 \mathrm{J^{-1}} J − 1 k g m 2 s − 3 \mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-3}} kg m 2 s − 3
オーダー見積もりの計算例(例示のみ)
単位と並んで算術が走るのを見るために、丸めた仮の数値を代入する。これらの値は純粋に次元の仕組みを動かすために選ばれており、いかなる測定されたスペクトル、物質、装置をも表さず、達成可能な電力についていかなる結論も引き出されるべきではない。 それらは例示的なオーダーにすぎない。
完全導出 からの簡約された積の形 P ≈ Φ σ Δ p v ph η conv Δ E Δ θ P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\,\Delta E\,\Delta\theta P ≈ Φ σ Δ p v ph η conv Δ E Δ θ
Φ ∼ 10 20 s − 1 m − 2 s r − 1 \Phi \sim 10^{20}\ \mathrm{s^{-1}\,m^{-2}\,sr^{-1}} Φ ∼ 1 0 20 s − 1 m − 2 s r − 1 σ ∼ 10 − 28 m 2 \sigma \sim 10^{-28}\ \mathrm{m^{2}} σ ∼ 1 0 − 28 m 2 Δ p ∼ 10 − 27 k g m s − 1 \Delta p \sim 10^{-27}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} Δ p ∼ 1 0 − 27 kg m s − 1 v ph ∼ 10 3 m s − 1 v_{\text{ph}} \sim 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}} v ph ∼ 1 0 3 m s − 1 η conv ∼ 10 − 1 \eta_{\text{conv}} \sim 10^{-1} η conv ∼ 1 0 − 1 Δ E ∼ 10 − 20 J \Delta E \sim 10^{-20}\ \mathrm{J} Δ E ∼ 1 0 − 20 J Δ θ ∼ 1 s r \Delta\theta \sim 1\ \mathrm{sr} Δ θ ∼ 1 sr そして次元を閉じるための規格化定数 κ ∼ 10 18 J − 1 \kappa \sim 10^{18}\ \mathrm{J^{-1}} κ ∼ 1 0 18 J − 1
数値の前因子を掛け合わせると、
10 20 × 10 − 28 × 10 − 27 × 10 3 × 10 − 1 × 10 − 20 × 1 × 10 18 = 10 20 − 28 − 27 + 3 − 1 − 20 + 18 = 10 − 35 . 10^{20}\times10^{-28}\times10^{-27}\times10^{3}\times10^{-1}\times10^{-20}\times1\times10^{18}
= 10^{\,20-28-27+3-1-20+18} = 10^{-35} . 1 0 20 × 1 0 − 28 × 1 0 − 27 × 1 0 3 × 1 0 − 1 × 1 0 − 20 × 1 × 1 0 18 = 1 0 20 − 28 − 27 + 3 − 1 − 20 + 18 = 1 0 − 35 . 単位を掛け合わせると、連鎖がワットに簡約されることはすでに示した。したがって例示的なスライスは
P ∼ 10 − 35 W . P \sim 10^{-35}\ \mathrm{W} . P ∼ 1 0 − 35 W . を与える。二点を注記する。第一に、ここでの指数 は、相殺を読みやすくするために選ばれた丸い数値のまったくの産物である。いずれかの仮値を数桁変えればそれに応じて動き、まさにそれゆえに物理的予測として読まれてはならない。第二に——そしてこれが永続する教訓だが——単位 は数値によらずワットとして出てきた。その分離こそが次元解析の要点のすべてである。それは特定の値から独立に公式の構造 を検証し、提案された一組の因子がそもそも電力へと組み立てられない場合にはただちにそれを示す。
次元解析が確立するものとしないもの
ワットが出てくることは必要だが十分ではない。それは、五つの因子と測度が電力へと組み合わさること、いかなる単位も宙に浮いて残らないこと、そしていかなる規格化定数の位置も固定され明示的であることを確認する。それは、数値が正しいこと、仮の因子がいかなる現実の環境を記述すること、あるいはこれらの仕様で作られた装置が動作することを確認しない 。それらは、因子——とりわけ対称性を破る Δ p \Delta p Δ p 工学的解釈 で論じられ、数値シミュレーション で数値的に検証される。次元的健全性は入場券であって目的地ではない。