完全導出

本章は Schubart Master Formula を第一原理から導出し、完成した対象として提示するのではなく一度に一因子ずつ組み立てる。目標は、あらゆる段階を検査可能にすることである。すなわち、我々が求める量は何か、それへの単一の寄与はどう書かれるか、それらの寄与はどう積分へと総和されるか、その総和はどの仮定に依拠するか、そして最後に完全な積分がどのようにして対話的なエクスプローラが実際に評価する簡潔な表現へと畳み込まれるか、である。公式はその正準形式で方程式に述べられ、すべての記号は記法参照で注解されている。ここで我々が関心を持つのは、その形式がどこから来るかである。

ステップ(a):目標とする量

我々は、環境場から連続的にエネルギーを収穫する変換器が届ける瞬時の利用可能な電力を求める。この量を $P(t)$ と呼び、ワットで測る。目標の二つの特徴が以後のすべてを形作る。第一に、それは電力、エネルギー率であって、エネルギーではない——したがって我々が積分するものは何であれすでに逆時間の次元を担っていなければならない。第二に、それは瞬時であり、明示的な時間引数を担う。環境資源は一般に定常ではないからである。ゆらぐ環境フラックスに浸された変換器はゆらぐ出力を生み、枠組みは単一の平均値を報告するのではなくその曲線を追跡するように作られている。以下の構成全体は、一つの問いへの答えとして読める。すなわち、時刻 $t$ に変換器の制御面を横切る指向性で利用可能な電力はどれだけか。制御面そのものは系の境界で一度きり固定される。ここでのすべてはそれに対して引かれる。

ステップ(b):単一スライスの寄与

入射場を一枚岩のビームとしてではなく、二つの座標でラベル付けされた寄与の束として考える。すなわち、場の各量子が担うエネルギー $E$ と、到来方向 $\theta$ である。$(E,\theta)$ での狭いスライス——$E$ のまわりの小さなエネルギー窓 $dE$ と $\theta$ のまわりの小さな角度窓 $d\theta$——を固定し、その一つのスライスがどれだけの利用可能な電力を寄与するかを問う。我々は、エネルギーを変換連鎖に沿って因子ごとに追うことで答える。

スライスはまず資源を届ける。フラックス密度 $\Phi(E,\theta,t)$ は、方向 $\theta$ から、エネルギー $E$、時刻 $t$ に、単位面積あたり、単位時間あたり、単位立体角あたり、単位エネルギーあたりにどれだけの場エネルギーが到来するかを指定する。これは外部から課された境界条件であり——装置の性質ではなく環境の性質である。

その資源は次に物質に結合せねばならない。散乱断面積 $\sigma(E)$ は、エネルギー $E$ の場が変換器とどれだけ強く相互作用するかを定める。それは面積の次元を持ち、物質がそのエネルギーで入射場に提示する実効的な標的として読める。$\sigma(E)$ が大きいところではフラックスは捕捉され、小さいところではフラックスは触れられずに通過する。

捕捉された相互作用は運動量を移行する。問題となるのは正味の指向性部分だけであり、それを $\Delta p$ と書く——等方的で打ち消し合う部分が平均で消し去られた後、相互作用あたりに変換器へ付与される運動量である。これが対称性を破る因子である。相互作用の幾何が完全に対称であれば、指向性部分はゼロであり、$\Phi$ や $\sigma$ がどれほど大きくともスライスは何も寄与しない。$\Delta p \neq 0$ の物理的必然性は非平衡エネルギー変換で展開される。

指向性運動量は次に、ランダム化する前に相互作用点から輸送されねばならない。フォノン速度 $v_{\text{ph}}$ は格子がその運動量をどれだけ速く運び去るかを特性づけ、したがって連鎖における輸送率として作用する。

最後に、輸送された指向性エネルギーは効率 $\eta_{\text{conv}}$ で利用可能な電力へと整流される。これは $[0,1]$ の無次元の数であり、あらゆる集約された損失——熱、後方散乱、内部抵抗——を吸収する。それは上を1で有界であるため、枠組みは資源、結合、輸送が実際に供給する以上の利用可能な出力を決して報告できない。

これら五つの因子を連鎖として読むと、単一スライスが寄与する電力はそれらの積にスライスの大きさを掛けたものである。

$$dP(E,\theta,t) = \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

積の形は本質的である。いずれか一つの因子が消失すれば、スライスの寄与は消失する。連鎖の死んだリンクを他を強化して補う方法はない。

ステップ(c):エネルギーと角度にわたる積分

現実の変換器は一つのスライスにではなく、環境場に存在するエネルギーと方向の分布全体にさらされる。総瞬時電力はあらゆるスライスからの寄与の総和である。$E$ と $\theta$ は連続であるため、その総和は積分である。まずスペクトルに存在するエネルギーにわたって、次にフラックスが到来する方向にわたって蓄積すると、拡張された物理的表現における Schubart Master Formula が得られる。

$$\boxed{\;P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta\;}$$

エネルギー積分はスペクトルの台にわたって走る——形式的にはゼロから無限大まで、ただし $\Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)$ が無視できるところでは被積分関数が無視できるという了解のもとで。角度積分は入射フラックスが変換器表面に張る立体角にわたって走る。与えられた幾何が要求するいかなる角度測度(たとえば極角に対する $\sin\theta$ 因子)も、この段階で構造を変えることなく挿入される。時間引数は積分を生き延びる。$\Phi$ がそれを担い、他の因子が準静的として扱われるからである。したがって $P(t)$ はその時間依存性を完全に環境から受け継ぐ。この表現がワットに簡約されるようにする次元簿記は次元解析で余すところなく実行され、数学的構造で要約される。

ステップ(d):四つの支配的仮定

単一スライスから積分への移行はただではない。それは四つの仮定に依拠し、その各々は原理的に破れうる物理的言明である。

1. 開放・非平衡系。 変換器は孤立していない。それは外部リザーバと連続的に結合し、それとエネルギーおよび運動量を交換し、熱平衡から離れて動作する。これがそもそも正味の仕事の取り出しを可能にするものである。第二法則は単一の温度で平衡にある系から仕事を取り出すことを禁じるが、指向性あるいは非平衡フラックスによって駆動される装置については何も言わない。系が閉じて平衡化していれば、$\Delta p$ が平均でゼロになるため、枠組みは正しくゼロを報告する。熱力学的地位は開放熱力学系で展開される。

2. 連続的で持続する駆動。 環境フラックス $\Phi$ は、一回限りの過渡としてではなく、関心のある時間スケールにわたって連続的に存在する。これが $P(t)$ を有限の貯蔵の放電ではなく持続する電力曲線として扱うことを正当化する。駆動が切れれば、$\Phi \to 0$ となり出力がそれに続く。

3. 線形で独立な相互作用。 各相互作用事象は他から加法的かつ独立に寄与するので、総計は交差項なしで単一スライス寄与の積分である。これにより因子は単純な積として、スライスは単純な総和として現れる。それは、入射場が物質を飽和させず相互作用が干渉しない領域で変換器が動作するときに成り立つ。強く非線形あるいは集団的な領域はこの形を超える補正項を要求するだろう。

4. 実効的で準静的な結合。 物質因子 $\sigma(E)$、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ は、フラックスの変化に実質的に瞬時に応答する実効的な集約量である。各々は大量の微視的詳細の代役を務め——$\eta_{\text{conv}}$ だけであらゆる変換損失を吸収する——各々はそれ自身の遅れなしにフラックスを追跡すると仮定される。もし物質パラメータが関連する時間スケールで漂動するなら(たとえば温度とともに $\eta_{\text{conv}}$ が)、積分の形を変えることなくそれ自身の時間引数を与えることができる。

これら四つの仮定は簡潔な形の代価である。それらはまたその反証可能な内容でもある。平衡で正味の出力を示す測定、あるいは強く非加法的な相互作用は、この形が単に再パラメータ化されるのではなく改訂を要することを示すだろう。

ステップ(e):代表スライスへの簡約

二重積分は誠実な一般的言明だが、見当をつけるため——そして対話的なエクスプローラのため——には、それを単一の代表スライスへと畳み込むことが有用である。被積分関数が、積分を支配する実効エネルギー窓 $\Delta E$ と角度窓 $\Delta\theta$ にわたっておよそ一定であるとしよう。すると積分は、代表値で評価された被積分関数にその窓の大きさを掛けたものにほぼ等しい。

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\,\Delta E\,\Delta\theta .$$

これはまさにエクスプローラが計算する表現である。五つの物理的因子と二つの窓幅を掛け合わせたものである。それは別の公式ではなく、単一スライス(平均値)近似の下でのマスター方程式であり、エネルギーと角度の一つの支配的な帯域が寄与の大半を担うときに妥当である。左から右へ読むと連鎖全体が回復する——資源、結合、指向性運動量、輸送、整流を、代表的な帯域にわたって蓄積したもの。その美点は、あらゆる因子が単一の調整可能な数であるため、出力が各因子にどう応答するかをただちに見られることである。その限界は、スペクトル構造と角度構造を捨てることである。フラックスや断面積が鋭い特徴を持つときには、ステップ(c)の完全な二重積分を復元し、数値シミュレーションの求積法と標本化法で評価せねばならない。

導出の要約

構成は五つの手で進む。目標電力 $P(t)$ を名指しする。一つの $(E,\theta)$ スライスの寄与を、五つの連鎖した因子の積に $dE\,d\theta$ を掛けたものとして書く。エネルギーと角度にわたって積分し、囲み付きのマスター方程式を得る。その積分が依拠する四つの仮定——開放・非平衡動作、持続する駆動、線形で独立な相互作用、実効的で準静的な結合——に注意する。そして最後に積分を、エクスプローラが評価する代表スライスの積へと簡約する。同じ論理が、一般的な枠組みと、将来の拡張で論じられるニュートリノボルタイクスの場合のようなその特定の応用との双方の基礎にある。後者は五つの因子に具体的な形を供給するだけで得られる。