Неравновесное преобразование энергии

Если бы окружающее поле было идеально изотропным, а преобразователь — идеально симметричным, то каждое взаимодействие, толкающее решётку в одну сторону, уравновешивалось бы другим, толкающим её в противоположную, и суммарная выпрямленная мощность была бы в точности нулевой. Поэтому непрерывное преобразование энергии возможно только в неравновесных условиях, когда некоторая симметрия нарушена. В этой главе излагается, как концепция P(t) кодирует это требование и почему член передачи импульса $\Delta p$ является математическим ядром всей конструкции.

Направленные и изотропные взаимодействия

Рассмотрим падающий поток, взаимодействующий с преобразователем. Каждое взаимодействие передаёт решётке некоторый импульс. Если передачи распределены изотропно, их векторная сумма обращается в нуль: происходит, возможно, нагрев, но нет ни направленного тока, ни полезной направленной мощности. Чтобы получить суммарный эффект, взаимодействия должны в среднем преимущественно откладывать импульс в одном направлении. Концепция представляет эту суммарную направленную передачу за одно взаимодействие величиной $\Delta p$ — передачей импульса [кг·м/с]. Принципиально, что $\Delta p$ определяется как направленная величина: это тот суммарный толчок, который остаётся после усреднения изотропной части. Когда модель предполагает симметричную, равновесную ситуацию, $\Delta p \to 0$ и, как и требуется, мастер-формула не даёт выхода. Компактная запись формулы, где $\Delta p$ показан явным множителем, приводится в уравнении.

Откуда берётся асимметрия

Существует несколько общих путей, которыми преобразователь может нарушить симметрию, и концепция нейтральна к тому, какой из них реализуется в том или ином устройстве. Преобразователь может быть структурно асимметричным, так что прямые и обратные взаимодействия геометрически неэквивалентны. Он может быть построен из материала с нарушенной инверсионной симметрией, так что отклик на приходящее поле по своей природе направлен. Или он может быть связан с внешним потоком, который сам по себе анизотропен, так что из одной полусферы телесного угла приходит больше импульса, чем из другой, — возможность, выражаемая явно через угловую переменную интегрирования $\theta$ в $\Phi(E,\theta,t)$. Во всех случаях физически значимый выход пропорционален уцелевшей направленной компоненте, и концепция намеренно не предполагает конкретного механизма. Она лишь настаивает, что некоторый такой механизм должен присутствовать, чтобы $\Delta p$ был ненулевым.

От микроскопических передач к направленному члену

Полезно увидеть, как $\Delta p$ возникает из усреднения по отдельным событиям. Пусть взаимодействие с падающим состоянием $(E,\theta)$ откладывает вектор импульса $\mathbf{q}(E,\theta,\Omega')$, где $\Omega'$ маркирует выходной канал, а $w(\Omega'\,|\,E,\theta)$ — вероятность рассеяния в $\Omega'$. Средний импульс, отложенный за одно взаимодействие и спроецированный на ось сбора $\hat{\mathbf{n}}$, равен

$$\Delta p(E,\theta) = \int \big[\mathbf{q}(E,\theta,\Omega')\cdot\hat{\mathbf{n}}\big]\,w(\Omega'\,|\,E,\theta)\;d\Omega' .$$

Если рассеяние симметрично относительно $\mathbf{q}\to-\mathbf{q}$ — равновесный случай детального баланса, — положительные и отрицательные вклады сокращаются и $\Delta p = 0$. Ненулевой результат требует, чтобы само $w$ было асимметричным, то есть чтобы прямой и обратный каналы несли разный вес. Таково точное математическое содержание «нарушения симметрии»: это неравенство между $w(+\mathbf{q})$ и $w(-\mathbf{q})$, и именно его обеспечивают структурные, материальные или потоковые асимметрии, названные выше. Веса рассеяния $w$ задаются той же физикой, что фиксирует $\sigma(E)$; см. сечение рассеяния.

Выпрямление и перенос

Нарушения симметрии в точке взаимодействия необходимо, но недостаточно. Направленный импульс должен затем быть перенесён через решётку и преобразован в полезный электрический ток прежде, чем он будет рандомизирован рассеянием. Концепция разделяет эти шаги на два множителя. Скорость фононов $v_{\text{ph}}$ [м/с] характеризует, насколько быстро решётка уносит переданный импульс от места взаимодействия, задавая темп, с которым направленный импульс может собираться. Эффективность преобразования $\eta_{\text{conv}}$ [безразмерная, от 0 до 1] затем отражает долю этой собранной направленной энергии, которая действительно выпрямляется в полезный выход, а не теряется на тепло, обратное рассеяние или внутреннее сопротивление. Вместе $v_{\text{ph}}$ и $\eta_{\text{conv}}$ описывают механизм, превращающий микроскопический направленный толчок в макроскопически доставленную мощность.

Конкуренцию между сбором и рандомизацией можно сделать количественной. Пусть направленный импульс, инжектированный в точке, релаксирует обратно к изотропии с характерным временем рассеяния $\tau$, тогда как перенос уносит его со скоростью $v_{\text{ph}}$. В ходе процесса сбора уцелевшая направленная доля затухает как $\exp(-t/\tau)$, так что импульс, который можно с пользой собрать до рандомизации, масштабируется отношением темпа переноса к темпу рассеяния. Записывая длину сбора как $\ell = v_{\text{ph}}\,\tau$, доля инжектированного направленного импульса, достигающая контактов сбора на расстоянии $L$, в иллюстративной одномерной картине ведёт себя как

$$f_{\text{collect}} \sim \exp\!\left(-\frac{L}{v_{\text{ph}}\,\tau}\right) .$$

Это явно показывает, почему $v_{\text{ph}}$ входит множителем: более быстрый отклик решётки удлиняет $\ell$ и позволяет большей части направленного импульса пережить путь. Это также показывает, что $\eta_{\text{conv}}$ и $v_{\text{ph}}$ не вполне независимы — то же рассеяние, что ограничивает сбор, питает и потери, свёрнутые в $\eta_{\text{conv}}$, — поэтому концепция сохраняет их как отдельные, но совместно ограниченные множители.

Сборка неравновесной цепочки

Логика концепции — это, таким образом, цепочка из четырёх физических требований, каждое из которых представлено своим множителем. Должен присутствовать поток ($\Phi$); он должен связываться с материалом ($\sigma$); связь должна откладывать суммарный направленный импульс ($\Delta p$); и этот импульс должен быть перенесён ($v_{\text{ph}}$) и выпрямлен ($\eta_{\text{conv}}$). Поскольку они перемножаются, а затем интегрируются по энергии и углу, мастер-формула

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta$$

обращается в нуль, если отсутствует хотя бы одно звено цепочки. Именно эта мультипликативная структура обеспечивает термодинамическую честность: никакая сколь угодно сильная связь не даст выхода, если симметрия не нарушена, и никакая направленность не поможет, если нет потока, с которым связываться. Отдельные множители каталогизированы в определениях переменных, а полный набор символов — в справочнике обозначений.

Цепочку можно также прочесть как последовательность условных вероятностей, что обостряет интуицию. Интерпретируем $\Phi\,dE\,d\theta$ как темп прихода падающих квантов в спектрально-угловой ячейке; $\sigma$ (относительно геометрической площади) — как вероятность того, что падающий квант провзаимодействует; направленность, закодированную в $\Delta p$, — как вероятность того, что взаимодействие откладывает суммарно-прямой импульс; а $\eta_{\text{conv}}$ — как вероятность того, что отложенный, перенесённый импульс уцелеет как полезный выход. Поскольку это условные стадии, совместная вероятность выживания есть их произведение, а общий выход ограничен наименьшим звеном. Таково вероятностное переформулирование принципа узкого места: концепция никогда не может сообщить о выходе большем, чем позволяет её наименее благоприятная стадия, — ровно та дисциплина, какой хочется при взвешивании спекулятивных предложений.

Роль детального баланса

Глубочайшая причина, по которой равновесие не даёт выхода, — принцип детального баланса. В тепловом равновесии каждый микроскопический процесс точно уравновешивается своим обращением во времени: на каждое взаимодействие, откладывающее импульс $+\mathbf{q}$, приходится в среднем столь же частое взаимодействие, откладывающее $-\mathbf{q}$. Прямой и обратный темпы сцеплены равновесной заселённостью состояний, и их равенство и есть то, что определяет отсутствие суммарных токов. Символически, если $W_{i\to f}$ — темп перехода из состояния $i$ в состояние $f$, а $p_i^{\text{eq}}$ — равновесная заселённость, детальный баланс требует

$$p_i^{\text{eq}}\,W_{i\to f} = p_f^{\text{eq}}\,W_{f\to i} ,$$

откуда любой суммарный направленный перенос гарантированно обращается в нуль. Выведение резервуара из равновесия — направленным потоком, спектральным перекосом или разностью температур — есть ровно то, что нарушает это равенство темпов и позволяет потечь суммарному току. Поэтому член передачи импульса $\Delta p$ в мастер-формуле лучше всего понимать как меру отклонения от детального баланса: он равен нулю, когда детальный баланс выполняется, и растёт со степенью, в какой приведение в движение его нарушает. Это напрямую связывает концепцию с основаниями неравновесной статистической механики, а не оставляет нарушение симметрии необъяснённым постулатом.

Связь с устоявшимися преобразователями

Поучительно, что знакомые устройства укладываются в эту схему. В фотоэлементе встроенное поле p–n-перехода обеспечивает направленное смещение; в термоэлектрическом устройстве это делает градиент температуры. Настоящая концепция абстрагирует существенный ингредиент — направленную, неравновесную связь — и выражает его обобщённо, так что и устоявшиеся, и предлагаемые преобразователи можно анализировать единым формализмом. Там, где предложенный механизм порождения $\Delta p$ не подтверждён экспериментально — нейтриновольтаическая связь была бы одним таким спекулятивным случаем, — получаемый выход следует рассматривать как предсказание модели, а не как установленный факт. Термодинамическая обстановка, допускающая всё это, описана в открытых термодинамических системах.

Энтропийная цена выпрямления

Выпрямление направленного тока не свободно от термодинамических последствий, и честность концепции подкрепляется их отслеживанием. Каждое событие выпрямления, порождающее упорядоченный, низкоэнтропийный выход, должно сопровождаться экспортом по меньшей мере компенсирующего количества энтропии в окружение, в согласии с энтропийным балансом открытой системы. В стационарном состоянии направленная мощность $P(t)$ уходит как низкоэнтропийная электрическая работа, тогда как неизбежное тепло сбрасывается обратно в резервуар при температуре окружения $T_0$. Темп экспорта энтропии, связанный с отведением мощности потерь $P_{\text{loss}}$, имеет порядок $P_{\text{loss}}/T_0$, и он должен по меньшей мере компенсировать внутреннее производство энтропии. Вот почему $\eta_{\text{conv}}$ никогда не может достичь единицы ни в одном реальном устройстве: некоторая доля связанной энергии всегда должна приноситься в жертву в виде отведённого тепла, чтобы удовлетворить второму началу. Картина передачи импульса и картина энтропии суть, таким образом, два взгляда на одно и то же ограничение — один кинематический, другой термодинамический, — и концепция согласуется с обоими одновременно. Термодинамическая сторона развита далее в открытых термодинамических системах.

Иллюстративная оценка направленной доли

Чтобы ощутить масштаб эффекта, рассмотрим иллюстративный случай, в котором падающий поток почти изотропен, но перекошен малой анизотропией $\epsilon \ll 1$, так что прямой канал несёт вес $\tfrac{1}{2}(1+\epsilon)$, а обратный — $\tfrac{1}{2}(1-\epsilon)$. Если полное лобовое взаимодействие откладывало бы импульс $q_0$, уцелевшая направленная передача равна

$$\Delta p \approx \epsilon\, q_0 .$$

Взяв, чисто для иллюстрации, масштаб импульса на событие $q_0 \sim 10^{-27}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ и умеренную анизотропию $\epsilon \sim 10^{-3}$, получаем $\Delta p \sim 10^{-30}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ за одно взаимодействие. Эти числа — заполнители, а не измерения; их единственная цель — показать, что направленный член, как правило, подавлен малостью анизотропии и что любая реалистичная оценка должна отслеживать это подавление явно, а не предполагать $\Delta p \sim q_0$. Читатели могут варьировать $\epsilon$ и остальные множители в песочнице.

Дополнительное чтение

• J. J. Sakurai and J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, 2nd ed. (Cambridge University Press, 2017). Амплитуды рассеяния и происхождение направленных темпов переходов.
• J. R. Taylor, Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions (Wiley, 1972; Dover reprint 2006). Строгое изложение сечений и передачи импульса.
• N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, 3rd ed. (North-Holland, 2007). Основные уравнения, детальный баланс и как его нарушение даёт направленные токи.
• P. Reimann, “Brownian motors: noisy transport far from equilibrium,” Physics Reports 361, 57 (2002). Выпрямление флуктуаций при нарушенной симметрии. DOI: 10.1016/S0370-1573(01)00081-3