Определения переменных

Эта глава даёт точное, самодостаточное определение каждой величины, появляющейся в Schubart Master Formula, вместе с её физическими единицами и ролью в подынтегральном выражении. Она задумана как авторитетный справочник о смысле каждого символа; компактный глоссарий в справочнике по обозначениям отражает эти определения, а сама формула сформулирована на странице уравнения. Для ориентировки мастер-формула читается так

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Каждый член ниже определён так, чтобы произведение подынтегрального выражения и меры интегрирования сводилось к мощности, как обсуждается в разделе о размерной непротиворечивости в математической архитектуре.

Выходная величина

$P(t)$ — Выходная мощность. Единицы: ватты [Вт]. Это мгновенная полезная электрическая мощность, доставляемая преобразователем в момент времени $t$. Это величина, ради вычисления которой существует вся концепция. Поскольку она несёт аргумент времени, $P(t)$ понимается как функция, отслеживающая флуктуирующую окружающую среду, а не как единственное стационарное число. Она всегда определяется относительно контрольной поверхности; см. границы системы.

Подынтегральные факторы

$\Phi(E,\theta,t)$ — Плотность потока излучения. Единицы: падающее излучение на единицу площади, на единицу времени, на единицу телесного угла, на единицу энергии (например $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$). Это окружающий ресурс: распределение энергии падающего поля по энергии $E$, углу падения $\theta$ и времени $t$. Он поставляется средой и входит в концепцию как внешне наложенное граничное условие, а не как свойство устройства. Его многоаргументный, распределённый характер и есть причина, по которой концепция записана как интеграл; см. многоканальный поток энергии и выделенное рассмотрение в разделе плотность потока излучения. Отметим, что $\Phi$ может быть выражено либо как плотность потока энергии, либо, делением на энергию кванта $E$, как плотность потока числа частиц; эти два различаются на фактор $E$, и выбор должен поддерживаться согласованным с единицами, несомыми прочими факторами.

$\sigma(E)$ — Сечение рассеяния. Единицы: квадратные метры [м²]. Это измеряет силу связи между падающим полем и материалом преобразователя как функцию энергии. Большое $\sigma(E)$ при данной энергии означает, что материал сильно взаимодействует с потоком при этой энергии; малое значение означает, что поток проходит во многом несвязанным. Поскольку оно зависит от $E$, спектральное согласование между $\sigma(E)$ и $\Phi$ определяет, сколько мощности можно собрать. Сечение имеет прямое физическое прочтение как эффективная площадь мишени: скорость взаимодействия на единицу падающего потока есть $R = \Phi\,\sigma$, так что $\sigma$ — это площадь, которую материал «представляет» потоку при этой энергии. Его полное аналитическое поведение и двойной смысл символа $\sigma$ (сечение здесь, стандартное отклонение в статистике) рассматриваются в разделе сечение рассеяния.

$\Delta p$ — Передача импульса. Единицы: килограмм-метры в секунду [кг м/с]. Это чистый направленный импульс, осаждённый в преобразователь на одно взаимодействие: нарушающий симметрию член. Он определён после того, как изотропная часть передачи импульса усреднена, так что $\Delta p$ представляет только направленный толчок, способный производить чистый ток. Формально это проекция на ось сбора $\hat{\mathbf{n}}$ среднего осаждённого импульса, $\Delta p = \langle \mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}}\rangle$, где среднее пробегает по (возможно, асимметричному) распределению исходящих каналов. Когда ситуация полностью симметрична или в равновесии, это среднее исчезает, $\Delta p \to 0$, и выход исчезает вместе с ним — механизм, удерживающий концепцию термодинамически честной; см. неравновесное преобразование энергии и кинематические детали в разделе определяющие соотношения.

$v_{\text{ph}}$ — Скорость фононов. Единицы: метры в секунду [м/с]. Это характеризует, насколько быстро кристаллическая решётка уносит переданный импульс от места взаимодействия. Это задаёт скорость, с которой направленный импульс может быть собран прежде, чем он рандомизируется, и так действует как фактор переноса в цепи от микроскопического взаимодействия к макроскопическому выходу. Физически она порядка скорости звука в материале — для типичных твёрдых тел несколько $\times 10^{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ (иллюстративный порядок величины, а не значение устройства) — и ограничена сверху требованием причинности отклика решётки. Её микроскопическое происхождение лежит в фононном дисперсионном соотношении, рассматриваемом в цитируемой ниже литературе по физике твёрдого тела.

$\eta_{\text{conv}}$ — Эффективность преобразования. Единицы: безразмерная, ограниченная интервалом $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$. Это доля собранной, направленной энергии, которая фактически выпрямляется в полезную электрическую мощность, а не теряется на тепло, обратное рассеяние или внутреннее сопротивление. Это единственный фактор, поглощающий все совокупные потери реального процесса преобразования, и его ограниченный диапазон обеспечивает, что концепция не может сообщить больше выхода, чем позволяют ресурс и потери. Там, где можно назначить разность температур источник–сток, $\eta_{\text{conv}}$ дополнительно ограничена потолком карнотовского типа, как обсуждается в разделах открытые термодинамические системы и эффективность преобразования.

Переменные интегрирования

$E$ — Энергетическая переменная. Единицы: энергия [Дж] (или эквивалентная спектральная единица). Это переменная интегрирования по окружающему спектру. Энергетический интеграл накапливает вклады от каждой части спектра, где поток и сечение перекрываются. Его нижний и верхний пределы задаются физическим носителем подынтегрального выражения, а не выбраны для удобства: формально интегрируют от $0$ до $\infty$, с пониманием, что подынтегральное выражение пренебрежимо везде, где исчезает либо $\Phi(E,\theta,t)$, либо $\sigma(E)$. Забота о спектральной единице существенна, поскольку энергию можно приводить в джоулях, электрон-вольтах или как частоту или длину волны; преобразование между ними соответственно перемасштабирует $\Phi$, и аудит единиц ниже должен повторяться всякий раз, когда меняется спектральная переменная.

$\theta$ — Угловая переменная. Единицы: угол [рад] (или телесный угол, когда включена подходящая мера). Это переменная интегрирования по направлению падения. Угловой интеграл агрегирует вклады, приходящие с разных направлений, и является местом, где любая анизотропия окружающего потока входит в баланс. Когда $\theta$ трактуется как полярный угол, физически полное интегрирование несёт обычный вес телесного угла $\sin\theta$ и, для плоского коллектора, дополнительную проекцию $\cos\theta$; концепция оставляет эти меры явными, чтобы правильную для данной геометрии можно было поставить без изменения структуры формулы.

Установленные против предлагаемых значений параметров

Решающее практическое различение пронизывает каждое из этих определений. Для установленного преобразователя — фотовольтаического элемента, термоэлектрического перехода — численные значения $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ и $\eta_{\text{conv}}$ известны из измерения, и концепция просто их организует. Для предлагаемого преобразователя, чей механизм связи экспериментально не подтверждён — одним таким случаем является нейтриновольтаическое устройство — один или более из этих параметров является модельным входом, а не измеренной величиной. Концепция не различает эти два случая в своей структуре, и это намеренно: применяется та же формула, но эпистемический статус выхода различается полностью. Когда фактор является заполнителем, результирующее $P(t)$ является условным предсказанием («если $\sigma$ принимает это значение, то мощность такова»), а не продемонстрированным выходом. Удержание этого различения видимым — никогда тихо не возводя предполагаемый параметр в измеренный — есть часть дисциплины, которую концепция призвана обеспечивать.

Взаимозависимость факторов

Хотя факторы записаны так, будто независимы — что и делает концепцию полезной для выделения узких мест — некоторые из них физически связаны, и тщательное применение держит эти связи в поле зрения. Сечение $\sigma(E)$ и передача импульса $\Delta p$ оба выводятся из одного и того же лежащего в основе взаимодействия: физика рассеяния, определяющая, насколько сильно поле связывается, также определяет, сколько и в каком направлении осаждается импульс. Аналогично, скорость фононов $v_{\text{ph}}$ и эффективность преобразования $\eta_{\text{conv}}$ связаны через время рассеяния, управляющее и тем, как далеко проходит направленный импульс, и тем, сколько теряется на тепло. Трактовка пяти факторов как независимых есть приближение первого порядка, справедливое, когда связи между ними слабы; где они не слабы, факторы должны совместно определяться из общей микроскопической модели, а не назначаться по отдельности. Раздельная формулировка факторов не отрицает этих связей — она их обнажает, так что аналитик знает, какие параметры нельзя варьировать изолированно. Это и есть разница между концепцией, которая просто сваливает всё в один коэффициент, и той, что держит физику читаемой.

Чтение факторов вместе

Взятые вместе, определения описывают конвейер: распределённый ресурс ($\Phi$) связывается ($\sigma$), преобразуется в направленный импульс ($\Delta p$), переносится ($v_{\text{ph}}$) и выпрямляется ($\eta_{\text{conv}}$), с итогом, накопленным по энергии и углу. Удержание этих определений и единиц фиксированными во всех главах и есть то, что позволяет применять концепцию последовательно, будь то к установленному преобразователю или к предлагаемому — такому как нейтриновольтаическое устройство — чьи параметры всё ещё неопределённы.

Аудит единиц с одного взгляда

Собирая единицы, подтверждаем, что подынтегральное выражение, умноженное на меру, даёт мощность. Записывая $\Phi$ в $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$, произведение подынтегральных факторов и меры $dE\,d\theta$ (в $\mathrm{J\,sr}$) есть

$$\underbrace{\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}}_{\Phi}\cdot\underbrace{\mathrm{m^{2}}}_{\sigma}\cdot\underbrace{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}_{\Delta p}\cdot\underbrace{\mathrm{m\,s^{-1}}}_{v_{\text{ph}}}\cdot\underbrace{1}_{\eta_{\text{conv}}}\cdot\underbrace{\mathrm{J\,sr}}_{dE\,d\theta} .$$

$\mathrm{m^{-2}}$ и $\mathrm{m^{2}}$ сокращаются, как и $\mathrm{sr^{-1}}$ и $\mathrm{sr}$ и $\mathrm{J^{-1}}$ и $\mathrm{J}$, оставляя $\mathrm{W}$, умноженное на остаточное $\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}$ от $\Delta p\,v_{\text{ph}}$. Конкретная реализация поэтому поставляет константу пропорциональности (с единицами $\mathrm{J^{-1}}$, то есть обратно-энергетическую нормировку из кинематики взаимодействия), так что полное выражение замыкается точно к ваттам. Полный аудит проведён в разделе размерный анализ.

Дальнейшее чтение

• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Определения скорости фононов, дисперсии и решёточного переноса.
• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2005). Доступное рассмотрение фононов и скорости звука в твёрдых телах.
• J. R. Taylor, Scattering Theory (Wiley, 1972; Dover reprint 2006). Строгое определение сечения рассеяния $\sigma(E)$.
• B. N. Taylor and A. Thompson (eds.), The International System of Units (SI), NIST Special Publication 330 (2008). Авторитетный справочник по единицам, используемым на всём протяжении.