Физическая мотивация

Schubart Master Formula, записываемая как P(t), — это общая математическая концепция для описания непрерывного преобразования энергии окружающего поля в полезную электрическую мощность в открытых физических системах. Прежде чем вводить сам формализм, стоит прямо сформулировать, какую задачу концепция призвана упорядочить. Великое множество идей сбора энергии — термоэлектрические, фотоэлектрические, пьезоэлектрические, радиочастотные и более спекулятивные схемы связи с полем — разделяют общую структуру: окружающий поток падает на преобразователь, взаимодействует с ним через некоторый канал связи, и доля переданной энергии выпрямляется в направленный, полезный ток. Цель P(t) — выразить эту общую структуру единожды, технологически нейтральным образом, так чтобы конкретные устройства рассматривались как частные случаи, а не как несвязанные явления.

Объединяющее описание, а не устройство

С самого начала существенно ясно понимать, чем P(t) является и чем не является. P(t) — это концепция учёта для баланса мощности открытого преобразователя. Это не утверждение о том, что какое-либо конкретное устройство доставляет какой-либо конкретный выход, и она сама по себе не заявляет, что какой-либо конкретный канал связи достаточно силён, чтобы быть практически полезным. Это эмпирические вопросы, которые должны решаться измерением для каждого предлагаемого применения. Что концепция действительно предоставляет — это непротиворечивый набор переменных и непротиворечивый способ их комбинирования, так чтобы конкурирующие предложения можно было сравнивать на одних и тех же условиях и чтобы предположения, стоящие за любым заявленным выходом, делались явными.

В этом смысле мастер-формула играет роль, аналогичную тому, как транспортный интеграл или кинетическое уравнение упорядочивает область: она говорит вам, какие величины важны и как они входят, оставляя численные значения этих величин для поставки теорией или экспериментом. Читатель, которому нужно компактное символьное утверждение, может обратиться непосредственно к уравнению; смысл каждого символа каталогизирован в справочнике обозначений и раскрыт в определениях переменных.

Ценность такого объединяющего объекта не только эстетическая. Когда область накапливает множество поверхностно различных предложений — каждое со своими обозначениями, своими неявными предположениями и своей заявленной мерой достоинства, — становится очень трудно сказать, совместимы ли два заявления, является ли одно частным случаем другого или возможен ли заявленный выход хотя бы размерностно. Единая мастер-формула заставляет каждое предложение лечь на общую ось. Чтобы поместить устройство в рамки концепции, нужно указать его распределение потока, его функцию связи, его механизм нарушения симметрии, его канал переноса и его эффективность выпрямления; в тот момент, когда они указаны, предложение становится проверяемым. Предложения, которые нельзя отлить в эти термины, тем самым не опровергаются, но бремя смещается к объяснению, какого ингредиента недостаёт стандартной цепочке.

Связь с устоявшимися транспортными и кинетическими формализмами

Структура P(t) перекликается с родословной хорошо устоявшихся физических выражений. Транспортный интеграл Больцмана накапливает ток, взвешивая функцию распределения со скоростью и оператором рассеяния по всем импульсным состояниям. Выражение радиационного переноса накапливает лучистую мощность, интегрируя удельную интенсивность с коэффициентом поглощения по энергии и телесному углу. Золотое правило Ферми накапливает темп перехода, взвешивая матричный элемент с плотностью конечных состояний. В каждом случае темп или мощность строится как интеграл распределённого источника с одним или несколькими множителями связи. Schubart Master Formula прочно стоит в этой традиции: это интеграл темпа доставки энергии, в котором «источник» — окружающий поток, а «связь» — произведение множителей взаимодействия, направленности, переноса и выпрямления. Распознавание этой родословной успокаивает, потому что означает, что концепция — не экзотическая конструкция, а частный экземпляр паттерна, упорядочивавшего транспортную физику целое столетие.

Объём понятия «энергия окружающего поля»

Нужно слово о том, насколько широко следует понимать выражение энергия окружающего поля. Концепция не привилегирует какое-либо конкретное поле. Она применима везде, где распределённый поток пересекает границу и может, в принципе, быть связан и выпрямлен: электромагнитное излучение по всему спектру, акустические и колебательные поля, тепловые градиенты и — как один часто обсуждаемый и всё ещё спекулятивный пример — предполагаемые связи со слабовзаимодействующими потоками частиц, такими как те, что привлекаются в нейтриновольтаических предложениях. Перечисление их вместе — не одобрение какого-либо из них; это утверждение об общности формализма. Математика безразлична к тому, какое поле поставляет поток, и эта безразличность и есть суть: единая структура покрывает устоявшиеся и спекулятивные ресурсы одинаково, с тем принципиальным различием, что параметры, входящие в формулу, в первом случае измерены, а во втором лишь предположены. На всём протяжении этого справочника нейтриновольтаический случай используется только как иллюстрация предлагаемого применения, но никогда как продемонстрированного.

Окружающий поток как ресурс

Мотивирующее наблюдение состоит в том, что физические среды пронизаны излучением и потоками полей в огромном диапазоне энергий и направлений. Любой преобразователь, помещённый в такую среду, непрерывно омывается падающим потоком, обозначаемым $\Phi(E,\theta,t)$, который зависит от энергии $E$, угла падения $\theta$ и времени $t$. Большая часть этого потока проходит через обычное вещество, не откладывая полезного, направленного импульса, потому что соответствующая связь слаба и потому что случайно направленные взаимодействия усредняются в нулевую суммарную силу. Поэтому центральный вопрос, который ставит концепция, — не присутствует ли поток (он присутствует всегда), а сколько его можно, в принципе, связать, выпрямить и доставить как мощность.

Такая постановка задачи сразу вычленяет три препятствия, которые должен преодолеть любой реальный преобразователь. Во-первых, сила связи между падающим полем и материалом преобразователя, отражаемая сечением рассеяния $\sigma(E)$, обычно мала. Во-вторых, взаимодействия должны нарушать направленную симметрию, чтобы передача импульса $\Delta p$ была суммарно-направленной, а не изотропной. В-третьих, переданный импульс должен эффективно переноситься и выпрямляться, что концепция кодирует через скорость фононов $v_{\text{ph}}$ и эффективность преобразования $\eta_{\text{conv}}$. Каждое из них — подлинное физическое узкое место, и мастер-формула делает каждое из них явным, отделимым множителем.

Вычленение препятствий как отдельных множителей — больше, чем нотационное удобство. Оно означает, что слабость на любой отдельной стадии можно диагностировать, не перевыводя всю модель, и что об улучшениях на разных стадиях можно рассуждать независимо в первом приближении. Если предлагаемый преобразователь не удаётся, концепция говорит вам, где он не удаётся: поток может быть достаточным, но связь пренебрежимой; связь может быть сильной, но симметрия ненарушенной; направленный импульс может порождаться, но теряться прежде выпрямления. Эта диагностическая сила — способность приписать недостачу конкретному множителю — одна из главных практических причин записывать баланс в факторизованной, интегральной форме, а не как единый сведённый коэффициент, скрывающий, где на самом деле живёт физика.

Почему начинать с интеграла

Поскольку окружающий поток распределён по энергии и углу, полную мощность нельзя получить из единственного представительного значения; её нужно накопить по всему спектру и по всем направлениям падения. Вот почему концепция записана как интеграл по $E$ и $\theta$, а не как алгебраическое произведение. Интегральная форма также делает модель честной в отношении спектральной зависимости: связь, сильная при одной энергии, но пренебрежимая в других местах, вносит вклад лишь там, где $\sigma(E)$ и $\Phi$ перекрываются. Следствия открытой, неравновесной обстановки развиты в открытых термодинамических системах и неравновесном преобразовании энергии, а многоканальный характер реалистичного потока рассмотрен в многоканальном потоке энергии.

Чтобы сделать рассуждение конкретным, рассмотрим дифференциальный вклад в мощность от единственной спектрально-угловой ячейки. Записывая подынтегральное выражение как $\mathcal{I}(E,\theta,t)$, мастер-формула есть

$$P(t) = \iint \mathcal{I}(E,\theta,t)\;dE\,d\theta, \qquad \mathcal{I} = \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}} .$$

Каждый множитель отвечает на один физический вопрос, и вопросы логически упорядочены: Есть ли здесь поток? ($\Phi$), связывается ли с ним материал? ($\sigma$), направлена ли связь? ($\Delta p$), переносится ли импульс? ($v_{\text{ph}}$) и выпрямляется ли он? ($\eta_{\text{conv}}$). «Нет» на любой стадии обращает локальное подынтегральное выражение в нуль, и только ячейки, отвечающие «да» на все пять, вносят вклад в накопленную сумму. Именно в этом смысле интеграл — не математическое украшение, а добросовестная бухгалтерская книга того, где мощность может и не может зарождаться.

Иллюстративный набросок порядка величины

Полезно увидеть, в грубых чертах, почему концепция не обещает автоматически больших чисел. Следующие величины суть иллюстративные заполнители, выбранные лишь для того, чтобы показать, как комбинируются множители; это не измеренные параметры устройства и они не подразумевают никакого заявления о каком-либо реальном преобразователе. Предположим, что преобразователь представляет эффективную площадь связи порядка $\sigma \sim 10^{-28}\,\mathrm{m^2}$ в полосе, где окружающий числовой поток имеет порядок $\Phi \sim 10^{10}\,\mathrm{m^{-2}\,s^{-1}}$ на соответствующий канал, что каждое выпрямленное взаимодействие вносит направленный импульс порядка $\Delta p \sim 10^{-27}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$, уносимый при скорости решётки $v_{\text{ph}} \sim 10^{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, и что эффективность преобразования — скромная $\eta_{\text{conv}} \sim 10^{-2}$. Перемножение этих величин порядка и трактовка спектрально-углового интеграла как вносящего множитель полосы и телесного угла порядка единицы даёт темп взаимодействий на единицу площади порядка $\Phi\,\sigma \sim 10^{-18}\,\mathrm{s^{-1}}$ — чрезвычайно малое число. Смысл упражнения именно в этом: концепция прозрачно выявляет, когда предлагаемый канал на много порядков слишком слаб, чтобы иметь значение, а не прячет этот факт внутри единственной подогнанной константы. Избегает ли какой-либо реальный канал этой малости — эмпирический вопрос, который формализм отказывается предрешать; он лишь делает арифметику честной.

Размерный учёт, стоящий за такими оценками, изложен в размерном анализе, а читатели могут интерактивно варьировать множители в песочнице.

Чего концепция намеренно не заявляет

Поскольку мастер-формула технологически нейтральна, важно ясно сформулировать заявления, которых она не делает, чтобы её общность не приняли за адвокатство. Она не утверждает, что какое-либо конкретное окружающее поле несёт достаточно выпрямляемой энергии, чтобы питать устройство; это зависит от численного значения $\Phi$, которое поставляет среда. Она не утверждает, что какой-либо материал достигает большой связи $\sigma$ при соответствующих энергиях; это вопрос материаловедения. Она не утверждает, что какой-либо известный механизм порождает существенный направленный импульс $\Delta p$ для данного поля; это как раз трудный, открытый вопрос для спекулятивных применений. И она не утверждает значения эффективности $\eta_{\text{conv}}$. Что формула действительно заявляет — только то, что если эти величины принимают определённые значения, то доставляемая мощность есть их интегрированное произведение — условное, фальсифицируемое утверждение. Этот условный характер — сила: он означает, что концепция может вмещать и устоявшиеся преобразователи, чьи параметры измерены, и предлагаемые, чьи параметры суть гипотезы, ждущие проверки, не смешивая эпистемический статус двух. Читателю, оценивающему любое конкретное заявление, поэтому всегда следует спрашивать, какие из пяти множителей измерены, а какие предположены.

Что строят остальные главы

Остаток этого справочника строит формулу по частям, определяет каждую величину с её единицами, очерчивает границу системы, через которую берётся баланс, и описывает, как концепцию можно исследовать численно. На всём протяжении спекулятивные применения — нейтриновольтаика есть один часто обсуждаемый пример — помечаются как предлагаемые, а не установленные, так чтобы математическое содержание стояло независимо от любой отдельной физической реализации. Термодинамическое основание появляется в открытых термодинамических системах; механика нарушения симметрии — в неравновесном преобразовании энергии; формальный интеграл — в математической архитектуре; а полный вывод — в полном выводе.

Дополнительное чтение

• S. R. de Groot and P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics (North-Holland, 1962; Dover reprint 1984). Классическое изложение соотношений потоков и сил в открытых, приводимых в движение системах.
• I. Prigogine, Introduction to the Thermodynamics of Irreversible Processes, 3rd ed. (Wiley-Interscience, 1967). Основополагающее изложение производства энтропии и стационарных неравновесных состояний.
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1, 3rd ed. (Pergamon, 1980). Стандартный справочник по статистическим основаниям, привлекаемым на всём протяжении этой концепции.
• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Фон для множителей переноса в решётке ($v_{\text{ph}}$), появляющихся в подынтегральном выражении.