Définitions des variables

Ce chapitre donne une définition précise et autonome de chaque grandeur apparaissant dans la Schubart Master Formula, avec ses unités physiques et son rôle dans l’intégrande. Il est conçu comme la référence faisant autorité pour le sens de chaque symbole ; le glossaire compact à la référence de notation reflète ces définitions, et la formule elle-même est énoncée à l’équation. Pour s’orienter, la formule maîtresse s’écrit

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Chaque terme ci-dessous est défini de sorte que le produit de l’intégrande et de la mesure d’intégration se réduise à une puissance, comme discuté sous la cohérence dimensionnelle dans architecture mathématique.

La grandeur de sortie

$P(t)$ — Puissance de sortie. Unités : watts [W]. C’est la puissance électrique utile instantanée délivrée par le convertisseur à l’instant $t$. C’est la grandeur que tout le cadre existe pour calculer. Parce qu’elle porte un argument temporel, $P(t)$ est comprise comme une fonction qui suit l’environnement ambiant fluctuant plutôt qu’un nombre stationnaire unique. Elle est toujours définie relativement à une surface de contrôle ; voir frontières du système.

Les facteurs de l’intégrande

$\Phi(E,\theta,t)$ — Densité de flux de rayonnement. Unités : rayonnement incident par unité d’aire, par unité de temps, par unité d’angle solide, par unité d’énergie (par exemple $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$). C’est la ressource ambiante : la distribution de l’énergie de champ incidente sur l’énergie $E$, l’angle d’incidence $\theta$ et le temps $t$. Elle est fournie par l’environnement et entre dans le cadre comme une condition aux limites imposée de l’extérieur, non comme une propriété du dispositif. Son caractère multi-argument et distribué est la raison pour laquelle le cadre est écrit comme une intégrale ; voir flux d’énergie multicanal et le traitement dédié dans densité de flux de rayonnement. Notez que $\Phi$ peut être exprimé soit comme une densité de flux d’énergie, soit, en divisant par l’énergie du quantum $E$, comme une densité de flux de nombre ; les deux diffèrent d’un facteur $E$ et le choix doit rester cohérent avec les unités portées par les autres facteurs.

$\sigma(E)$ — Section efficace de diffusion. Unités : mètres carrés [m²]. Elle mesure la force de couplage entre le champ incident et le matériau convertisseur en fonction de l’énergie. Un grand $\sigma(E)$ à une énergie donnée signifie que le matériau interagit fortement avec le flux à cette énergie ; une petite valeur signifie que le flux passe à travers largement non couplé. Parce qu’elle dépend de $E$, l’ajustement spectral entre $\sigma(E)$ et $\Phi$ gouverne la quantité de puissance pouvant être récupérée. La section efficace a une lecture physique directe comme aire cible effective : le taux d’interaction par unité de flux incident est $R = \Phi\,\sigma$, de sorte que $\sigma$ est l’aire que le matériau « présente » au flux à cette énergie. Son comportement analytique complet et le double sens du symbole $\sigma$ (section efficace ici, écart-type en statistique) sont traités dans section efficace de diffusion.

$\Delta p$ — Transfert de quantité de mouvement. Unités : kilogramme-mètres par seconde [kg m/s]. C’est la quantité de mouvement nette dirigée déposée dans le convertisseur par interaction : le terme de brisure de symétrie. Elle est définie après que la partie isotrope du transfert de quantité de mouvement a été moyennée, de sorte que $\Delta p$ ne représente que la poussée dirigée pouvant produire un courant net. Formellement, c’est la projection sur l’axe de collection $\hat{\mathbf{n}}$ de la quantité de mouvement moyenne déposée, $\Delta p = \langle \mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}}\rangle$, où la moyenne court sur la distribution (possiblement asymétrique) des canaux sortants. Lorsque la situation est pleinement symétrique ou à l’équilibre, cette moyenne s’annule, $\Delta p \to 0$, et la sortie s’annule avec elle — le mécanisme qui garde le cadre thermodynamiquement honnête ; voir conversion d’énergie hors d’équilibre et les détails cinématiques dans relations gouvernantes.

$v_{\text{ph}}$ — Vitesse des phonons. Unités : mètres par seconde [m/s]. Elle caractérise la rapidité avec laquelle le réseau cristallin transporte la quantité de mouvement transférée loin du site d’interaction. Elle fixe le taux auquel la quantité de mouvement dirigée peut être collectée avant d’être randomisée, et agit donc comme un facteur de transport dans la chaîne allant de l’interaction microscopique à la sortie macroscopique. Physiquement elle est de l’ordre de la vitesse du son dans le matériau — pour les solides typiques quelques $\times 10^{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ (un ordre de grandeur illustratif, non une valeur de dispositif) — et elle est bornée supérieurement par l’exigence que la réponse du réseau soit causale. Son origine microscopique réside dans la relation de dispersion des phonons, traitée dans la littérature de physique du solide citée ci-dessous.

$\eta_{\text{conv}}$ — Rendement de conversion. Unités : sans dimension, contraint à l’intervalle $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$. C’est la fraction de l’énergie collectée et dirigée qui est effectivement redressée en puissance électrique utile, par opposition à être perdue en chaleur, rétrodiffusion ou résistance interne. C’est le seul facteur qui absorbe toutes les pertes agrégées du processus de conversion réel, et sa plage bornée impose que le cadre ne puisse rapporter plus de sortie que la ressource et les pertes ne le permettent. Là où une différence de température source–puits peut être assignée, $\eta_{\text{conv}}$ est en outre plafonné par un plafond de type Carnot, comme discuté dans systèmes thermodynamiques ouverts et dans rendement de conversion.

Les variables d’intégration

$E$ — Variable d’énergie. Unités : énergie [J] (ou une unité spectrale équivalente). C’est la variable d’intégration sur le spectre ambiant. L’intégrale en énergie accumule les contributions de chaque partie du spectre où le flux et la section efficace se recouvrent. Ses bornes inférieure et supérieure sont fixées par le support physique de l’intégrande plutôt que choisies par commodité : formellement on intègre de $0$ à $\infty$, étant entendu que l’intégrande est négligeable partout où soit $\Phi(E,\theta,t)$ soit $\sigma(E)$ s’annule. Le soin apporté à l’unité spectrale est essentiel, puisque l’énergie peut être exprimée en joules, en électron-volts, ou comme une fréquence ou une longueur d’onde ; convertir entre elles rééchelonne $\Phi$ en conséquence, et l’audit des unités ci-dessous doit être répété chaque fois que la variable spectrale est changée.

$\theta$ — Variable angulaire. Unités : angle [rad] (ou angle solide lorsque la mesure appropriée est incluse). C’est la variable d’intégration sur la direction d’incidence. L’intégrale angulaire agrège les contributions arrivant de directions différentes et est l’endroit où toute anisotropie du flux ambiant entre dans le bilan. Lorsque $\theta$ est traité comme un angle polaire, une intégration physiquement complète porte le poids d’angle solide habituel $\sin\theta$ et, pour un collecteur plat, une projection supplémentaire $\cos\theta$ ; le cadre laisse ces mesures explicites afin que la bonne pour une géométrie donnée puisse être fournie sans altérer la structure de la formule.

Valeurs de paramètres établies versus proposées

Une distinction pratique cruciale traverse chacune de ces définitions. Pour un convertisseur établi — une cellule photovoltaïque, une jonction thermoélectrique — les valeurs numériques de $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$ et $\eta_{\text{conv}}$ sont connues par mesure, et le cadre les organise simplement. Pour un convertisseur proposé dont le mécanisme de couplage n’a pas été confirmé expérimentalement — un dispositif neutrinovoltaic étant un tel cas — un ou plusieurs de ces paramètres est une entrée de modèle plutôt qu’une grandeur mesurée. Le cadre ne distingue pas les deux cas dans sa structure, et c’est délibéré : la même formule s’applique, mais le statut épistémique de la sortie diffère entièrement. Lorsqu’un facteur est un substitut, le $P(t)$ résultant est une prédiction conditionnelle (« si $\sigma$ prend cette valeur, alors la puissance est celle-ci »), non une sortie démontrée. Garder cette distinction visible — ne jamais promouvoir discrètement un paramètre supposé en un paramètre mesuré — fait partie de la discipline que le cadre est censé imposer.

Interdépendance des facteurs

Bien que les facteurs soient écrits comme s’ils étaient indépendants — ce qui rend le cadre utile pour isoler les goulots d’étranglement — plusieurs d’entre eux sont physiquement liés, et une application soigneuse garde ces liens en vue. La section efficace $\sigma(E)$ et le transfert de quantité de mouvement $\Delta p$ dérivent tous deux de la même interaction sous-jacente : la physique de diffusion qui détermine avec quelle force le champ se couple détermine aussi combien et dans quelle direction la quantité de mouvement est déposée. De même, la vitesse des phonons $v_{\text{ph}}$ et le rendement de conversion $\eta_{\text{conv}}$ sont liés par le temps de diffusion qui gouverne à la fois jusqu’où voyage la quantité de mouvement dirigée et combien est perdu en chaleur. Traiter les cinq facteurs comme indépendants est une approximation au premier ordre, valable quand les couplages entre eux sont faibles ; là où ils ne le sont pas, les facteurs doivent être co-déterminés à partir d’un modèle microscopique commun plutôt qu’assignés séparément. Énoncer les facteurs séparément ne nie pas ces liens — il les expose, de sorte qu’un analyste sache quels paramètres ne peuvent être variés isolément. C’est la différence entre un cadre qui agrège simplement tout dans un seul coefficient et un cadre qui garde la physique lisible.

Lire les facteurs ensemble

Prises ensemble, les définitions décrivent un pipeline : une ressource distribuée ($\Phi$) est couplée ($\sigma$), convertie en quantité de mouvement dirigée ($\Delta p$), transportée ($v_{\text{ph}}$) et redressée ($\eta_{\text{conv}}$), le total étant accumulé sur l’énergie et l’angle. Maintenir ces définitions et unités fixes à travers tous les chapitres est ce qui permet d’appliquer le cadre de façon cohérente, qu’il s’agisse d’un convertisseur établi ou d’un convertisseur proposé — tel un dispositif neutrinovoltaic — dont les paramètres sont encore incertains.

Audit des unités en un coup d’œil

Rassembler les unités confirme que l’intégrande multiplié par la mesure donne une puissance. En écrivant $\Phi$ en $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$, le produit des facteurs de l’intégrande et de la mesure $dE\,d\theta$ (en $\mathrm{J\,sr}$) est

$$\underbrace{\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}}_{\Phi}\cdot\underbrace{\mathrm{m^{2}}}_{\sigma}\cdot\underbrace{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}_{\Delta p}\cdot\underbrace{\mathrm{m\,s^{-1}}}_{v_{\text{ph}}}\cdot\underbrace{1}_{\eta_{\text{conv}}}\cdot\underbrace{\mathrm{J\,sr}}_{dE\,d\theta} .$$

Les $\mathrm{m^{-2}}$ et $\mathrm{m^{2}}$ s’annulent, de même que $\mathrm{sr^{-1}}$ et $\mathrm{sr}$ ainsi que $\mathrm{J^{-1}}$ et $\mathrm{J}$, laissant $\mathrm{W}$ multiplié par le résidu $\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}$ issu de $\Delta p\,v_{\text{ph}}$. Une réalisation concrète fournit donc une constante de proportionnalité (d’unités $\mathrm{J^{-1}}$, c’est-à-dire une normalisation en énergie inverse issue de la cinématique de l’interaction) de sorte que l’expression complète se referme exactement en watts. L’audit complet est mené dans analyse dimensionnelle.

Pour aller plus loin

• N. W. Ashcroft et N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Définitions de la vitesse des phonons, de la dispersion et du transport de réseau.
• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8e éd. (Wiley, 2005). Traitement accessible des phonons et de la vitesse du son dans les solides.
• J. R. Taylor, Scattering Theory (Wiley, 1972 ; réimpression Dover 2006). Définition rigoureuse de la section efficace de diffusion $\sigma(E)$.
• B. N. Taylor et A. Thompson (éds.), The International System of Units (SI), NIST Special Publication 330 (2008). Référence faisant autorité pour les unités utilisées partout.