変数の定義

本章は、Schubart Master Formula に現れるすべての量について、その物理的単位と被積分関数における役割とともに、正確で自己完結した定義を与える。これは各記号の意味についての権威ある参考資料として意図されている。記法リファレンスのコンパクトな用語集はこれらの定義を反映し、公式そのものは方程式に述べられている。方向づけのため、マスター公式は次のように読める

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

以下の各項は、被積分関数と積分測度の積が出力(パワー)に帰着するよう定義されている。数学的構造の次元的整合性のもとで論じるとおりである。

出力量

$P(t)$ — 出力。 単位:ワット [W]。これは、時刻 $t$ に変換器が供給する瞬時の利用可能な電気出力である。それは枠組み全体がそれを計算するために存在する量である。時間引数を担うので、$P(t)$ は単一の定常な数ではなく、ゆらぐ環境を追跡する関数として理解される。それは常に制御面に対して相対的に定義される。系の境界を参照。

被積分関数の因子

$\Phi(E,\theta,t)$ — 放射フラックス密度。 単位:単位面積あたり、単位時間あたり、単位立体角あたり、単位エネルギーあたりの入射放射(たとえば $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$)。これは環境資源である:エネルギー $E$、入射角 $\theta$、時刻 $t$ にわたる入射場エネルギーの分布である。それは環境によって供給され、装置の性質としてではなく外部から課された境界条件として枠組みに入る。その多引数で分布した性格が、枠組みが積分として書かれる理由である。マルチチャネルエネルギーフラックスおよび放射フラックス密度の専用の扱いを参照。$\Phi$ はエネルギーフラックス密度として、または量子エネルギー $E$ で割ることで数フラックス密度として表せることに注意せよ。二つは因子 $E$ だけ異なり、その選択は他の因子が担う単位と整合的に保たれねばならない。

$\sigma(E)$ — 散乱断面積。 単位:平方メートル [m²]。これは、入射場と変換器物質の間の結合強度をエネルギーの関数として測る。与えられたエネルギーで大きな $\sigma(E)$ は、物質がそのエネルギーのフラックスと強く相互作用することを意味する。小さな値は、フラックスがほとんど結合せずに通り抜けることを意味する。それは $E$ に依存するので、$\sigma(E)$ と $\Phi$ のスペクトル整合が、どれほどの出力が収穫できるかを支配する。断面積は実効標的面積としての直接の物理的読みをもつ:単位入射フラックスあたりの相互作用率は $R = \Phi\,\sigma$ であり、したがって $\sigma$ は、そのエネルギーで物質がフラックスに「呈する」面積である。その完全な解析的ふるまいと記号 $\sigma$ の二重の意味(ここでは断面積、統計では標準偏差)は散乱断面積で扱われる。

$\Delta p$ — 運動量移行。 単位:キログラム・メートル毎秒 [kg m/s]。これは、相互作用あたりに変換器へ付与される正味の指向性運動量であり、対称性を破る項である。それは運動量移行の等方的部分が平均化された後に定義されるので、$\Delta p$ は正味の電流を生みうる指向性の押しのみを表す。形式的には、付与される平均運動量の収集軸 $\hat{\mathbf{n}}$ への射影 $\Delta p = \langle \mathbf{q}\cdot\hat{\mathbf{n}}\rangle$ であり、平均は(おそらく非対称な)出射チャネルの分布にわたって走る。状況が完全に対称であるか平衡にあるとき、この平均は消え、$\Delta p \to 0$ となり、出力もそれとともに消える——枠組みを熱力学的に誠実に保つ機構である。非平衡エネルギー変換および支配関係の運動学的詳細を参照。

$v_{\text{ph}}$ — フォノン速度。 単位:メートル毎秒 [m/s]。これは、結晶格子が移行された運動量を相互作用点からどれほど速く輸送し去るかを特徴づける。それは、指向性運動量がランダム化される前に収集されうる率を定め、したがって微視的相互作用から巨視的出力への鎖における輸送因子として作用する。物理的にはそれは物質中の音速の程度であり——典型的な固体では数 $\times 10^{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$(デバイス値ではなく例示的な桁)——格子応答が因果的であるべきという要件によって上限を与えられる。その微視的起源はフォノン分散関係にあり、下記に引用する固体物理の文献で扱われる。

$\eta_{\text{conv}}$ — 変換効率。 単位:無次元、区間 $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$ に制約される。これは、収集され指向性をもつエネルギーのうち、熱、後方散乱、または内部抵抗へ失われるのではなく、実際に利用可能な電気出力へ整流される割合である。それは現実の変換過程のすべての集約された損失を吸収する単一の因子であり、その有界な範囲が、枠組みが資源と損失が許す以上の出力を報告できないことを強制する。線源–吸収源の温度差が割り当てられる場合、$\eta_{\text{conv}}$ はさらにカルノー型の天井によって制限される。開放熱力学系および変換効率で論じるとおりである。

積分変数

$E$ — エネルギー変数。 単位:エネルギー J。これは環境スペクトルにわたる積分変数である。エネルギー積分は、フラックスと断面積が重なるスペクトルのあらゆる部分からの寄与を累積する。その下限と上限は便宜のために選ばれるのではなく、被積分関数の物理的な台によって定まる:形式的には $0$ から $\infty$ まで積分するが、$\Phi(E,\theta,t)$ または $\sigma(E)$ のいずれかが消える場所ではどこでも被積分関数が無視できる、という了解のもとでである。スペクトル単位への注意は不可欠である。なぜなら、エネルギーはジュール、電子ボルト、あるいは振動数や波長として引用されうるからである。それらの間で変換すると $\Phi$ がそれに応じて再スケールされ、スペクトル変数が変更されるたびに下記の単位監査が繰り返されねばならない。

$\theta$ — 角度変数。 単位:角度 rad。これは入射方向にわたる積分変数である。角度積分は異なる方向から到来する寄与を集約し、環境フラックスのいかなる異方性も収支に入るのはここである。$\theta$ が極角として扱われるとき、物理的に完全な積分は通常の $\sin\theta$ 立体角重みを担い、平坦な収集器については追加の $\cos\theta$ 射影を担う。枠組みはこれらの測度を明示的なままにし、与えられた幾何に正しいものを、公式の構造を変えることなく供給できるようにする。

確立された対提案されたパラメータ値

決定的な実践的区別が、これらの定義の一つ一つを貫く。確立された変換器——光起電力セル、熱電接合——については、$\sigma$、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ の数値は測定から知られており、枠組みは単にそれらを組織化する。結合機構が実験的に確認されていない提案された変換器——ニュートリノボルタイクス装置がそのような一例である——については、これらのパラメータの一つ以上が、測定された量ではなくモデル入力である。枠組みはその構造において二つのケースを区別しない。それは意図的である:同じ公式が適用されるが、出力の認識論的地位はまったく異なる。因子が代入値であるとき、結果として生じる $P(t)$ は条件付きの予測(「もし $\sigma$ がこの値をとるならば、出力はこれである」)であって、実証された出力ではない。この区別を見えるように保つこと——仮定されたパラメータを測定されたものへ密かに昇格させないこと——は、枠組みが強制することを意図した規律の一部である。

因子の相互依存性

因子はあたかも独立であるかのように書かれているが——それが枠組みをボトルネックの切り分けに有用たらしめているのだが——そのいくつかは物理的に結びついており、注意深い応用はそれらの結びつきを視野に保つ。断面積 $\sigma(E)$ と運動量移行 $\Delta p$ は、ともに同じ基礎となる相互作用から導かれる:場がどれほど強く結合するかを決める散乱物理が、運動量がどれほど、どの方向に付与されるかも決める。同様に、フォノン速度 $v_{\text{ph}}$ と変換効率 $\eta_{\text{conv}}$ は、指向性運動量がどれほど遠くまで進むかと、どれほどが熱へ失われるかの双方を支配する散乱時間を通じて結びついている。五つの因子を独立として扱うことは一次近似であり、それらの間の結合が弱いときに妥当である。そうでないときは、因子は別々に割り当てられるのではなく、共通の微視的モデルから共に決定されねばならない。因子を別々に述べることは、これらの結びつきを否定するのではなく——それを露わにする。そうすることで、解析者はどのパラメータが単独で変化させられないかを知る。これが、すべてを一つの係数に単に一括りにする枠組みと、物理を読み取れるように保つ枠組みの違いである。

因子を併せて読む

併せて読めば、これらの定義はパイプラインを記述する:分布した資源($\Phi$)が結合され($\sigma$)、指向性運動量へ変換され($\Delta p$)、輸送され($v_{\text{ph}}$)、整流され($\eta_{\text{conv}}$)、総量がエネルギーと角度にわたって累積される。これらの定義と単位をすべての章にわたって固定して保つことが、枠組みを整合的に——確立された変換器にであれ、パラメータがまだ不確かな、ニュートリノボルタイクス装置のような提案された変換器にであれ——適用できるようにする。

一目でわかる単位監査

単位を集めると、被積分関数と測度の積が出力(パワー)を生むことが確認される。$\Phi$ を $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$ で書くと、被積分関数の因子と測度 $dE\,d\theta$($\mathrm{J\,sr}$ の単位)の積は

$$\underbrace{\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}}_{\Phi}\cdot\underbrace{\mathrm{m^{2}}}_{\sigma}\cdot\underbrace{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}_{\Delta p}\cdot\underbrace{\mathrm{m\,s^{-1}}}_{v_{\text{ph}}}\cdot\underbrace{1}_{\eta_{\text{conv}}}\cdot\underbrace{\mathrm{J\,sr}}_{dE\,d\theta} .$$

$\mathrm{m^{-2}}$ と $\mathrm{m^{2}}$ が打ち消し合い、$\mathrm{sr^{-1}}$ と $\mathrm{sr}$、$\mathrm{J^{-1}}$ と $\mathrm{J}$ も打ち消し合い、$\mathrm{W}$ に $\Delta p\,v_{\text{ph}}$ からの残余 $\mathrm{kg\,m^{2}\,s^{-2}}=\mathrm{J}$ を掛けたものが残る。したがって具体的な実現は、比例定数(単位 $\mathrm{J^{-1}}$、すなわち相互作用の運動学からの逆エネルギー正規化)を供給し、全式がちょうどワットへ閉じるようにする。完全な監査は次元解析で実施される。

参考文献

• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). フォノン速度、分散、格子輸送の定義。
• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2005). フォノンと固体中の音速の平易な扱い。
• J. R. Taylor, Scattering Theory (Wiley, 1972; Dover reprint 2006). 散乱断面積 $\sigma(E)$ の厳密な定義。
• B. N. Taylor and A. Thompson (eds.), The International System of Units (SI), NIST Special Publication 330 (2008). 全体を通じて用いられる単位の権威ある参考文献。