Variablendefinitionen

Ein präzises Rahmenwerk verlangt eine eindeutige Definition jedes Symbols. Dieses Kapitel behandelt alle Größen der Schubart Master-Formel systematisch, gibt für jede die physikalische Bedeutung und die Einheit an und erläutert ihre Rolle im Doppelintegral. Die Definitionen sind konsistent mit der Notationsreferenz und der Gleichung zu verwenden. Zur Orientierung sei die erweiterte physikalische Darstellung vorangestellt:

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta$$

Die Ausgangsgröße

$P(t)$ — Leistungsabgabe, Einheit Watt ($\text{W}$). Dies ist die momentane, nutzbare elektrische Leistung, die das System aus dem einfallenden Feld extrahiert. Sie ist explizit zeitabhängig, weil der einfallende Fluss zeitlich variieren kann. $P(t)$ ist das Endergebnis der Integration und die einzige Größe auf der linken Seite der Gleichung.

Die Eingangsgröße

$\Phi(E,\theta,t)$ — Strahlungsflussdichte. Diese Größe beschreibt die einfallende Umgebungsstrahlung, aufgelöst pro Fläche, pro Zeit, pro Raumwinkel und pro Energie. Ihre Einheit ist entsprechend $\text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}\,\text{sr}^{-1}\,\text{J}^{-1}$ oder eine dazu äquivalente Form. $\Phi$ trägt die gesamte Abhängigkeit von den Integrationsvariablen $E$ und $\theta$ sowie die Zeitabhängigkeit und ist damit der Träger der physikalischen Information über das Umgebungsfeld. Ihre Struktur — insbesondere mögliche Anisotropien und Nichtgleichgewichtsanteile — bestimmt, ob überhaupt Leistung extrahierbar ist. Die vollständige Behandlung ihrer spektralen und winkelaufgelösten Struktur erfolgt in Strahlungsflussdichte.

Die Kopplungsgrößen

$\sigma(E)$ — Streuquerschnitt, Einheit Quadratmeter ($\text{m}^2$). Der Streuquerschnitt quantifiziert die Kopplungsstärke des einfallenden Feldes an das Wandlermaterial bei gegebener Energie. Er ist typischerweise stark energieabhängig, weshalb er als Funktion von $E$ geschrieben wird. Große Werte von $\sigma$ bedeuten eine starke Wechselwirkung und damit einen hohen Leistungsbeitrag pro Fluss; kleine Werte bedeuten eine schwache Kopplung. Anschaulich ist $\sigma(E)$ die effektive Wechselwirkungsfläche, die ein einfallendes Quant „sieht“: Das Produkt aus Fluss und Querschnitt liefert eine Wechselwirkungsrate pro Fläche. Die energieaufgelöste Analyse dieser Größe erfolgt in Sigma-Analyse; ihre formale Herkunft aus der Streutheorie ist in Streuquerschnitt vertieft.

$\Delta p$ — Impulsübertrag, Einheit $\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$. Der Impulsübertrag ist der gerichtete Impuls, der pro Wechselwirkung auf das Gitter übertragen wird. Er ist der symmetriebrechende Term des Rahmenwerks: Verschwindet der gerichtete Nettoimpuls, so verschwindet die Leistung. $\Delta p$ kodiert die Vorzugsrichtung des Prozesses und ist damit die Größe, die Gleichgewicht von Nichtgleichgewicht unterscheidet, wie in Nichtgleichgewichts-Energiewandlung dargelegt. Zu beachten ist, dass in die Master-Formel die auf die Vorzugsachse projizierte, über die Wechselwirkungen gemittelte Komponente eingeht; die volle Impulsbilanz eines Streuereignisses wird in Streuquerschnitt behandelt.

Die Transport- und Wandlungsgrößen

$v_{\text{ph}}$ — Phononengeschwindigkeit, Einheit $\text{m}\,\text{s}^{-1}$. Diese Größe gibt die Transportgeschwindigkeit an, mit der der übertragene Impuls im Gitter weitergeleitet wird. Sie verbindet den mechanischen Impulsübertrag mit dem Leistungsfluss: Das Produkt $\Delta p \cdot v_{\text{ph}}$ hat die Dimension einer Leistung pro Wechselwirkung. $v_{\text{ph}}$ ist eine materialspezifische Größe, die von der Gitterstruktur des Wandlers abhängt und im Grundmodell mit der akustischen Gruppengeschwindigkeit im Kristall identifiziert werden kann. Ihre physikalische Herkunft aus der Gitterdynamik — Dispersionsrelation, akustische und optische Zweige — ist Gegenstand der Festkörperphysik und liegt außerhalb der Grundform; die Master-Formel behandelt $v_{\text{ph}}$ als vorgegebenen Materialparameter.

$\eta_{\text{conv}}$ — Wandlungswirkungsgrad, dimensionslos, $0 \le \eta_{\text{conv}} \le 1$. Der Wandlungswirkungsgrad gibt den Anteil des transportierten Impulses an, der als nutzbare elektrische Leistung gleichgerichtet wird. Er sammelt alle materialspezifischen Verluste und Kopplungsineffizienzen in einem einzigen dimensionslosen Faktor. Die Beschränkung auf das Intervall zwischen null und eins ist die formale Garantie dafür, dass das Rahmenwerk keine Energie aus dem Nichts erzeugt.

Die Integrationsvariablen

$E$ — Energie-Integrationsvariable, Einheit Joule ($\text{J}$). Über $E$ wird integriert, um alle Energiebänder des einfallenden Feldes zu erfassen. Die Integrationsgrenzen entsprechen dem relevanten Energiebereich des betrachteten Flusses.

$\theta$ — Winkel-Integrationsvariable, Einheit Radiant beziehungsweise Steradiant im Raumwinkelmaß. Über $\theta$ wird integriert, um alle Einfallsrichtungen zu erfassen. Die Winkelvariable trägt die Information über die Gerichtetheit des Feldes und bestimmt zusammen mit $\Delta p$ den gerichteten Nettobeitrag.

Dimensionsprobe im Überblick

Setzt man die Einheiten aller Faktoren in den Integranden ein und trägt die durch $dE\,d\theta$ hinzukommenden Dimensionen bei, so erhält man

$$\underbrace{[\text{m}^{-2}\text{s}^{-1}\text{sr}^{-1}\text{J}^{-1}]}_{\Phi}\cdot\underbrace{[\text{m}^2]}_{\sigma}\cdot\underbrace{[\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}]}_{\Delta p}\cdot\underbrace{[\text{m}\,\text{s}^{-1}]}_{v_{\text{ph}}}\cdot\underbrace{[1]}_{\eta}\cdot\underbrace{[\text{J}\cdot\text{sr}]}_{dE\,d\theta} = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-3} = \text{W}.$$

Fläche, Energie und Raumwinkel heben sich gegen die inversen Beiträge der Flussdichte weg, und es verbleibt exakt die Leistungsdimension. Diese kompakte Kontrolle ergänzt die ausführliche Buchführung in Mathematische Architektur und Dimensionsanalyse.

Zusammengesetzte und abgeleitete Größen

Über die einzelnen Symbole hinaus lohnt es sich, einige zusammengesetzte Größen zu benennen, die im Rahmenwerk immer wieder auftreten. Das Produkt $\Delta p\,v_{\text{ph}}$ hat die Dimension einer Leistung, $\text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-3} = \text{W}$, und stellt die pro Wechselwirkung abtransportierte Leistung dar. Es ist der eigentliche „Motor“ des Integranden, weil es den gerichteten Impulsübertrag in einen Leistungsfluss übersetzt. Das Produkt $\Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)$ trägt die Dimension einer Wechselwirkungsrate pro Fläche, Energie und Raumwinkel und beschreibt, wie häufig Wechselwirkungen bei gegebener Energie und Richtung auftreten. Erst das Produkt aller Faktoren, integriert über $E$ und $\theta$, liefert die vollständige Leistung.

Diese Zerlegung in Teilprodukte ist mehr als eine Rechenbequemlichkeit. Sie ordnet die Parameter nach ihrer physikalischen Funktion: $\Phi$ und $\sigma$ bestimmen gemeinsam die Häufigkeit der Wechselwirkungen, $\Delta p$ und $v_{\text{ph}}$ die pro Wechselwirkung übertragene Leistung, und $\eta_{\text{conv}}$ den nutzbaren Anteil. Wer eine der Größen misst oder abschätzt, sollte sich stets fragen, zu welchem dieser drei Teilprodukte sie beiträgt — denn nur so lässt sich beurteilen, wie stark eine Unsicherheit in einer einzelnen Größe das Endergebnis beeinflusst. Die tiefergehende Behandlung der einzelnen Faktoren erfolgt in den jeweiligen Spezialkapiteln: der Streuquerschnitt in Streuquerschnitt und Sigma-Analyse, die Flussdichte in Strahlungsflussdichte und der Wandlungswirkungsgrad in Wandlungswirkungsgrad.

Konsistente Verwendung

Alle Symbole sind durchgehend in dieser Bedeutung und mit diesen Einheiten zu verwenden. Eine besondere Vorsicht gilt dem Symbol $\sigma$: Im Kontext der Validierung tritt derselbe Buchstabe als Standardabweichung auf, was eine reine Notationsüberschneidung ohne physikalischen Zusammenhang darstellt. Diese Doppelbelegung wird in Sigma-Analyse ausdrücklich aufgelöst. Wo immer im Text von der Kopplungsstärke die Rede ist, bezeichnet $\sigma(E)$ den Streuquerschnitt; wo von statistischer Streuung die Rede ist, bezeichnet $\sigma$ die Standardabweichung. Die Dimensionsanalyse aller Größen findet sich in Mathematische Architektur. Eine kompakte tabellarische Übersicht aller Symbole bietet die Notationsreferenz; die Parameterabhängigkeiten lassen sich interaktiv im Playground erkunden.

Weiterführende Literatur

• J. R. Taylor: Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions. Wiley, New York 1972 (Nachdruck Dover 2006). Definition und Einheiten des Streuquerschnitts.
• N. W. Ashcroft, N. D. Mermin: Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston, New York 1976. Phononengeschwindigkeit und Gitterdynamik.
• C. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, München (dt. Ausgabe). Akustische Geschwindigkeiten und materialspezifische Transportgrößen.