モンテカルロ検証

数値シミュレーションで述べた決定論的求積は、単一の固定された入力の組について Schubart Master Formula を評価する。しかし実際の評価への入力——フラックススペクトル、断面積、材料パラメータ——はそれ自体不確かであり、入力にわたる分布は出力にわたる分布を生む。モンテカルロ法はこれを扱うための自然な道具である。すなわち、ランダムサンプリングによって積分を推定し、同時に入力の不確かさを $P(t)$ の不確かさへと伝播させる。本章は方法論を一般的に記述する。用いる数値は例示的な仮の値であり、決して測定された結果として主張されない。

積分のモンテカルロ推定

二重積分は、固定された格子ではなく統計的に推定できる。積分領域にわたる選ばれたサンプリング分布から $N$ 個の標本点 $(E_k,\theta_k)$ を引き、各点で被積分関数 $f(E,\theta,t)$ を評価し、重み付き平均を作る。測度 $V$ の領域にわたる一様サンプリングについて、推定量は

$$\hat{P}_N(t) = \frac{V}{N}\sum_{k=1}^{N} f(E_k,\theta_k,t),$$

であり、これは不偏である。すなわち、その期待値は任意の $N$ について厳密な積分に等しい。$N$ とともに改善するのはバイアスではなく分散である。$\text{Var}[f]$ がサンプリング分布にわたる被積分関数の分散を表すとき、推定量の標準誤差は

$$\text{SE}\big[\hat{P}_N\big] = V\,\sqrt{\frac{\text{Var}[f]}{N}} \;\propto\; \frac{1}{\sqrt{N}} ,$$

であり、これはモンテカルロ積分の署名——そして代償——である特徴的な $1/\sqrt{N}$ のスケーリングである。この収束は遅い。誤差を十倍小さくするには標本を百倍にすることが要る。だが肝心なことに、指数は領域の次元によらず、これが被積分関数が高次元であるか扱いにくい形をしているときにモンテカルロがテンソル格子求積を追い越す理由であり、また鋭く尖った領域を優雅に扱う理由でもある。

分散低減

誤差が $\text{Var}[f]/N$ によって支配されるため、同じ精度は $N$ を上げることでも、推定量の実効分散を下げることでも買える——そして後者が通常はるかに安い。重点サンプリングは、一様な引きを、被積分関数が大きいところ——例えば $\Phi$ と $\sigma(E)$ のピークの重なりの近く——に集中させた分布 $g$ で置き換え、各標本を $f/g$ で再重み付けする。$g$ がよく選ばれると、再重み付けされた被積分関数はほぼ一定になりその分散は崩壊し、控えめな $N$ で、さもなければオーダー単位でより多くの一様標本を要することを達成する。層化サンプリングは領域を部分領域に分け、それぞれをその寄与に比例してサンプリングし、重要な領域のカバレッジを保証し、純粋にランダムな引きを悩ます集群を取り除く。制御変量は既知の積分を持つ相関量を差し引き、分散の多くを打ち消す。これらはモンテカルロ文献で目録化された古典的な技法であり、マスター公式の評価を単に可能であるだけでなく実際的にするには、通常少なくともその一つが不可欠である。

入力分布のサンプリング

この枠組みにおけるモンテカルロの特徴的な用途は、単に積分を評価することではなく、不確かさを伝播させることである。各不確かな入力は確率分布で記述される。フラックス $\Phi$ は測定された平均スペクトルの周りに仮定された広がりでサンプリングされうるし、断面積 $\sigma(E)$ はその測定誤差の範囲内でサンプリングされうるし、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ はそれぞれどれだけよく知られているかを反映する分布から引かれうる。手続きは外側のループと内側のループを持つ。外側のループでは、入力値の完全な組をその同時分布から引く——それらの間のいかなる相関も尊重しながらである。なぜなら相関した入力を独立として扱うと出力の広がりをひどく誤って述べうるからである。内側のループでは、その固定された入力の組について積分を、求積または入れ子のモンテカルロ積分によって評価する。したがって各外側の引きが $P(t)$ の一つの実現を生み、外側のループを何度も繰り返すと、その広がりが結合した入力の不確かさを反映する出力のアンサンブルが生じる。この入れ子構造が前向きの不確かさの伝播の本質であり、単一の決定論的な数よりもはるかに多くを教える。

出力分布を読む

$P(t)$ の値のアンサンブルはそれから要約される。その平均は期待される出力を推定し、その標準偏差は不確かさを定量化し、そのパーセンタイルは信頼区間を与える。パーセンタイルは標準偏差と並べて報告する価値がある。なぜなら出力分布は一般にガウス的でないからである——マスター公式は因子の積であり、正の確率変数の積は歪んだ長い裾の分布に向かう傾向があり、それに対しては対称な平均プラスマイナス $\sigma$ の区間は上側の裾を過小評価する。純粋に手法の例示として、仮の実行が、例えば平均の十から二十パーセントのオーダーの広がりを持つ平均出力を生み、入力の不確かさが減らされるにつれて狭まる、と報告するかもしれない。そのような数値は観念的なものであり、結果の形を示すためだけに立つ。それらはいかなる実在の系についても再導出されねばならず、決して実験的測定であるかのように引用されてはならない。この出力分布の幅こそ誠実な報告に最も関連する量であり、それを標準偏差として解釈することはシグマ解析の統計的議論に直接つながる。

推定値の収束と信頼性

モンテカルロの結果はそれ自身の誤差棒を担い、その誤差が十分に小さいことが示されねばならない。標準的な実践は、$N$ が増えるにつれて進行中の推定値を監視し、平均とその統計誤差の両方が安定したことを確認することである。平坦化した進行平均のプロットが、報告許容値を下回るまで縮んだ誤差棒とともにあることが、実際的な停止基準である。統計誤差が $1/\sqrt{N}$ としてしか落ちないため、それを半分にするには標本数を四倍にすることが要るので、上記の分散低減技法は任意ではなく効率のために通常不可欠である。同じ固定入力について収束した決定論的求積に対してモンテカルロ平均を照合することは、価値ある整合性の検査である。すなわち、二つの手法はそれらの結合した誤差の範囲内で一致すべきであり、二、三標準誤差を超える不一致は、いずれかのバグ——不整合な領域、落とされたヤコビアン因子、あるいは領域の一部を決して訪れないサンプリング分布——を知らせる。擬似乱数列の質もまた重要である。粗悪な生成器は、$1/\sqrt{N}$ 則の背後にある独立性の仮定を破る相関を持ち込む。

検証が確立すること、しないこと

この手続きが何を検証するかについて正確であることが重要である。モンテカルロ検証は積分が正しく評価されたことと、入力の不確かさが忠実に伝播されたことを確立する。それはそれ自体では、入力モデルが物理的に正しいことを確立しない。仮定されたフラックススペクトル、断面積、または運動量移行の機構が誤っていれば、計算は誤った仮定を、自信を持って述べられた、しかし不正確な出力へと忠実に伝播するだろう——おなじみの「ゴミを入れればゴミが出る」という失敗が、精密に見える誤差棒を着せられたものである。したがって数値の検証は必要だが十分ではない。物理的な入力は測定によって別途検証されねばならない。提案された入力——例えば思弁的な $\Delta p$ の機構——が確認されていないところでは、結果として得られる出力分布はその仮定を条件とするものとして提示され、しかるべく表示されるべきである。これはまた、ここで生み出される統計的な広がりが決して実験的な発見の有意性として読まれてはならない理由でもある。狭い出力分布は、モデルがその仮定のもとで内部的に整合していることを証明するのであって、仮定が世界と一致することを証明するのではない。ここで計算される統計的な広がりと断面積の記法との関係はシグマ解析で解きほぐされている。

さらに読むために

• Metropolis, N., & Ulam, S. (1949). “The Monte Carlo Method.” Journal of the American Statistical Association, 44(247), 335–341 — 手法の創始論文。
• Robert, C. P., & Casella, G. (2004). Monte Carlo Statistical Methods (2nd ed.). Springer — 推定量、分散低減、収束の包括的な現代的取り扱い。
• Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press — モンテカルロ積分と重点サンプリングに関する実際的な章。