将来の拡張

拡張された物理的表現における Schubart Master Formula は意図的に明示的である。準静的な物質因子を伴う、エネルギーと角度にわたる二重積分である。その簡潔さは強みだが、それはまた一般化への誘いでもある。本章は、枠組みが拡張されうる方向を概観し、その各々が基本形に組み込まれた単純化する仮定の一つを緩める。これらはすべて提案された拡張——枠組みが受け入れうる数学的可能性であって、確立された結果ではない——として提示され、各々はいかなる物理的主張がその上に乗る前にそれ自身の注意深い検証を要するだろう。

自己無撞着なリザーバ結合

基本枠組みは、開放熱力学系で示されるとおり、収穫がリザーバを枯渇させないほどリザーバが大きいという仮定のもとで、環境フラックス $\Phi(E,\theta,t)$ を外部から課された境界条件として扱う。自然な拡張はこれを緩める。変換器が自身の供給を遮るほど大きい場合、あるいは多くの変換器が同じフラックスを奪い合う場合には、$\Phi$ は変換器の存在に依存し、境界条件は自己無撞着に解かれねばならないだろう。概略的には、課されたフラックス $\Phi_0$ は補正されたフラックス

$$\Phi(E,\theta,t) = \Phi_0(E,\theta,t) - \Phi_{\text{abs}}\big[\Phi\big](E,\theta,t) ,$$

に置き換えられ、そこで吸収された部分 $\Phi_{\text{abs}}$ は変換器が実際に見るフラックス自体の汎関数である——一方向の境界条件ではなく不動点方程式である。拡張された問題はフラックスと装置を単一の方程式系へと結合し、マスター方程式は閉じた表現ではなく結合した集合の中の一つの方程式となり、典型的には $\Phi$ が変化しなくなるまで反復によって解かれる。例示的な弱遮蔽極限では、吸収される割合が小さく、補正は無視でき基本形が回復する。自己無撞着な取り扱いが重要になるのは、装置、あるいは密な装置配列が、自身の供給の自明でない割合を取り除くときだけである。これは密な配列、および自身の供給に比べて小さくない変換器に対する適切な一般化である。

時間依存する物質パラメータ

基本形では、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ は準静的として扱われ、出力の時間依存性全体がフラックスから流れる。単純明快な拡張はこれらの因子にそれ自身の時間引数を与える。効率は温度とともに漂動しうるし、輸送速度は格子が加熱するにつれて変化しうるし、実効運動量移行は印加されたバイアスとともに変動しうる。$\eta_{\text{conv}}(t)$、$v_{\text{ph}}(t)$、$\Delta p(t)$ と書くことは、積分構造をそのまま残しながら、内部状態が発展する変換器を枠組みが記述することを可能にする。この拡張が真に自明でなくなるのは、これらの因子が瞬時の時刻だけでなく出力の履歴に依存するとき——たとえば蓄積された加熱が格子温度を上げ、それが今度は輸送速度を変えるとき——である。その場合、物質因子は過去の出力の汎関数となり、かつて明示的だった積分は $P(t)$ をそれ自身の履歴に結合する積分微分方程式に変わる。これは、暖機過渡、熱フィードバック、経年劣化、動的制御をモデル化するのに必要な最小の一般化である。

空間的および場の拡張

基本積分はエネルギーと角度のみにわたり、変換器を空間構造に関して実質的に点として扱う。より豊かな定式化は空間積分を加え、それによってフラックス、結合、整流が拡張された装置全体にわたって変化し、局所的な寄与が総和されるようにする。

$$P(t) = \int_{V} \iint \Phi(\mathbf{r},E,\theta,t)\,\sigma(\mathbf{r},E)\,\Delta p(\mathbf{r})\,v_{\text{ph}}(\mathbf{r})\,\eta_{\text{conv}}(\mathbf{r})\;dE\,d\theta\;d^3r .$$

この形では、枠組みは変換器の場の理論に似たものとなり、$P(t)$ は局所電力密度を、エネルギーと角度にわたってだけでなく装置体積 $V$ にわたっても積分することで得られる。空間依存性はまた、隣接する領域が互いに影響し合うことを許す——ある層で生成された指向性運動量が別の層へ輸送され整流されうる——ので、各体積要素が独立に寄与するという素朴な仮定は、仮定されるのではなく検証されねばならない。そのような拡張は、傾斜機能材料、積層構造、および内部幾何が重要となるあらゆる装置にとっての自然な言語である。

多チャネル干渉

多チャネルエネルギーフラックスにおける多チャネルの取り扱いは、別個のチャネルがインコヒーレントに加算される——総電力が交差項なしのチャネルごとの積分の総和である——と仮定する。二つのチャネルがコヒーレントな位相関係を共有するところでは、この仮定は破れ干渉項が現れる。一般化された枠組みはこれらの交差項を明示的に担い、チャネル間の建設的あるいは破壊的な干渉が総計を変えることを許すだろう。これは繊細な拡張である。干渉は原理的に出力を増強あるいは抑制しうるので、増強のいかなる主張も、物理的効果を装う簿記の誤りを排除するために特に注意深い検証を要するだろう。

特別な場合としての応用

別種の拡張は数学的ではなく解釈的である。すなわち、各因子に具体的な形を供給することで、一般的な枠組みを特定の提案された変換器に適用することである。たとえばニュートリノボルタイクスは、環境フラックスと結合に特定の物理的同定が与えられるそのような提案された応用の一つであり、よくある質問でより詳しく扱われる。いかなる応用にとっても本質的な規律は同じである。一般的な公式は不可知であり、立証責任は完全に特定の入力にかかる。応用はその因子の背後にある測定と同程度にしか信頼に足らず、それらが存在するまで予測された出力はモデル予測のままである。

枠組みにおける拡張の役割

これらの方向を合わせて見ると、マスター方程式の基本形は、ある族の主要項として理解するのが最善であることが分かる。各拡張は基本形が省くもの——リザーバの反作用、時間的漂動、空間構造、コヒーレント干渉——を、追加の複雑さという代償を払って復元し、各々は適切な極限——弱遮蔽、準静的パラメータ、点状の装置、インコヒーレントなチャネル——で基本形を回復する。この極限的な場合の構造こそが、恣意的な付加物の寄せ集めではなく、良設定のモデルの階層の証である。枠組みは、数学的構造で記述される中核の因子分解を捨てることなく、これらを漸進的に加えられるように設計されている。それらのいずれも枠組みの根本的な関与を変えない。すなわち、報告される電力は常に特定された非平衡資源から引き出され、常に明示的な境界に照らされる。各拡張はその規律を受け継ぎ、各々はまたそれ自身の検証の負担をも受け継ぐ——より豊かなモデルは、間違いうる場所が少ないのではなく、多いのである。

参考文献

• Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1980). Statistical Physics, Part 1 (3rd ed.). Pergamon Press —— 自己無撞着なフラックスの取り扱いの基礎をなす開放系およびリザーバ結合の基盤のために。
• Chandrasekhar, S. (1960). Radiative Transfer. Dover —— 拡張媒体におけるフラックス伝播、吸収、自己遮蔽の古典的な取り扱いであり、空間的およびリザーバ結合の拡張に関連する。
• de Groot, S. R., & Mazur, P. (1984). Non-Equilibrium Thermodynamics. Dover —— 時間変化する物質パラメータが生じさせる、結合した時間依存の輸送方程式のために。