再現性

すべての図は描かれたものではなく計算されたものである

科学的なレファレンスは検証可能であるべきである。本ページの P(t) に関する定量的な図は、読者自身が実行できるコードによって生成されており、例示的な集約推定値は、固定された乱数シードを用いたモンテカルロ法から得られたものである。本ページでは二つの中核となる図を選択可能なベクトルグラフィックとして示し、それらを再現するノートブックへリンクする。

以下で用いるパラメータの桁数は例示的なプレースホルダであり、明確にそのように示されている——方法を検証するものであって、測定された装置の仕様ではない。ここで再現可能なのは機構である。すなわちスケール則、数値計算、そして収束である。

コヒーレント増強：N² 則

多数の構成要素が同位相で反応するとき、散乱振幅は加算され、実効的な散乱断面積はそれらの個数の二乗 N² に比例してスケールし、線形にはならない。これが、微小な一粒子あたりの散乱断面積を巨視的に意味あるものとする機構であり、章散乱断面積およびディープダイブで展開されている。本図はコヒーレントな N² スケーリングを、非コヒーレントな線形スケーリングと対比して両対数軸上に示す。

コヒーレントに結合した散乱体の個数 N に対する実効的な散乱断面積の両対数プロット。N² に比例するコヒーレントなスケーリングを実線で、N に比例する非コヒーレントなものを破線で示す。 — コヒーレントに結合した散乱体の個数に対する実効的な散乱断面積。コヒーレントな分枝（実線）は傾き 2 を、非コヒーレントな分枝（破線）は傾き 1 を持つ。

集約値のモンテカルロ収束

P(t) は複数の因子の積であり、各因子は一桁にわたって不確かである。各因子を対数正規分布としてモデル化し、その積の平均値をモンテカルロ法によって推定する。対数正規分布の積の平均値は閉じた形で与えられるため、推定量が不偏であること——すなわち逐次推定値が解析的な平均値に収束し、その 95% 信頼帯が 1/√n のように縮小すること——を検証できる。これは章モンテカルロ検証およびシグマ解析を補完する。

解析的な平均値で正規化した平均出力のモンテカルロ推定値を、標本数に対して示した片対数プロット。逐次推定値は、縮小する 95 パーセント信頼帯の内側で 1 に収束する。 — 集約値の逐次モンテカルロ推定値（解析的な平均値で正規化）。標本数の増加に伴って狭まる 95% 信頼帯を伴う。

自身で再現する

以下のノートブックは両方の図を再生成し、モンテカルロ推定値を解析的な平均値と対比して出力する。固定されたシードを持つため、結果は実行のたびに同一であり、依存するのは numpy と matplotlib のみである。

ノートブックをダウンロード — pt-schubart-reproducibility.ipynb →

pip install numpy matplotlib で実行し、続いて Jupyter で開くか、 jupyter nbconvert --execute によりヘッドレスで実行する。