Métodos: Discretização, Amostragem e Convergência

Este capítulo expõe, no estilo de uma seção de métodos, os procedimentos computacionais pelos quais um número é extraído da Schubart Master Formula. Ele parte do balanço mestre contínuo até sua avaliação prática em cinco passos numerados: a integral exata, sua redução a uma fatia representativa, sua discretização como uma soma de quadratura, sua estimativa por Monte Carlo, e a propagação da incerteza de entrada. Cada relação-chave é numerada para que o texto circundante e capítulos posteriores possam referir-se a ela sem ambiguidade como “Eq. (n)”. A derivação analítica completa que motiva esses passos é dada na derivação completa; aqui a ênfase recai sobre como a integral é de fato calculada e sobre os erros que cada método carrega.

Equação (1) — o balanço expandido

O ponto de partida é a representação física expandida da Schubart Master Formula — a identidade contábil para a potência convertida instantânea escrita por extenso em sua forma espectral–de transporte,

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta \tag{1}$$

onde a integração percorre a energia incidente $E$ e a coordenada angular $\theta$, e os cinco fatores são a densidade de fluxo, a seção de choque de espalhamento, a transferência de momento efetiva, a velocidade dos fônons, e a eficiência de conversão. A Eq. (1) é uma integral dupla sobre um domínio bidimensional; todo método subsequente neste capítulo é um modo de avaliá-la. A contabilidade dimensional que mostra que o lado direito se reduz a watts é feita na análise dimensional, e é pressuposta aqui.

Equação (2) — fatia representativa

Quando o integrando varia lentamente sobre uma janela bem escolhida $\Delta E \times \Delta\theta$, ou quando se deseja uma primeira estimativa, a Eq. (1) se reduz a uma única fatia representativa substituindo a integral pelo integrando avaliado em valores representativos vezes o tamanho da janela,

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E\,\Delta\theta . \tag{2}$$

A Eq. (2) é a forma do valor médio da Eq. (1): ela é exata se os fatores forem constantes ao longo da janela e uma aproximação controlada caso contrário. Sua validade é exatamente a condição de média representativa da Hipótese C nas hipóteses e limitações — a janela deve ser larga o suficiente para ser representativa, mas estreita o suficiente para que o integrando não oscile ao longo dela. A Eq. (2) é inestimável para estimativas de ordem de grandeza e para verificar que um cálculo mais completo não se desviou, mas não deve ser confiada onde o integrando é agudamente pronunciado, por exemplo ao longo de uma ressonância da seção de choque.

Equação (3) — discretização por quadratura

Para avaliar a Eq. (1) sem supor uma única fatia representativa, o domínio é particionado em uma grade de células indexadas por $j$ (em energia) e $k$ (em ângulo), e a integral é aproximada por uma soma de Riemann ou de quadratura sobre essas células,

$$P \approx \sum_{j,k} \Phi_{jk}\,\sigma_j\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E_j\,\Delta\theta_k , \tag{3}$$

onde $\Phi_{jk}$ e $\sigma_j$ são os valores dos fatores amostrados nos centros das células e $\Delta E_j$, $\Delta\theta_k$ são as larguras das células. A Eq. (3) é simplesmente a Eq. (2) somada sobre muitas fatias; à medida que as células encolhem ela converge para a Eq. (1). Uma regra do ponto médio uniforme como escrita tem um erro de discretização por célula de ordem $(\Delta E)^3$ e $(\Delta\theta)^3$ na segunda derivada do integrando, de modo que o erro global da regra do ponto médio ou do trapézio escala como $O(h^2)$ no tamanho da célula $h$; a regra de Simpson melhora isso para $O(h^4)$ em integrandos suaves. Grades não uniformes que posicionam as células mais densamente onde o integrando varia mais rápido — em torno de um pico espectral, digamos — recuperam precisão de forma muito mais barata do que o refinamento uniforme. Essa avaliação baseada em grade é a espinha dorsal da simulação numérica determinística.

Equação (4) — o estimador de Monte Carlo

A quadratura em grade torna-se cara quando o integrando é de alta dimensão, agudamente pronunciado, ou de forma inconveniente, porque o número de células cresce como uma potência da dimensão. A alternativa de Monte Carlo reescreve a integral como uma esperança e a estima por amostragem aleatória. Sorteando $N$ pontos $x_n = (E_n,\theta_n)$ do domínio e escrevendo $f(x)$ para o integrando completo da Eq. (1) vezes o volume do domínio, o estimador é a média amostral

$$\hat P = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} f(x_n), \qquad \mathrm{SE}\big[\hat P\big] \propto \frac{1}{\sqrt{N}} . \tag{4}$$

A Eq. (4) é não enviesada — sua esperança é igual à integral verdadeira — e seu erro padrão cai como $1/\sqrt{N}$, independentemente da dimensão do domínio. Essa independência da dimensão é a razão pela qual o Monte Carlo ultrapassa a quadratura em grade tensorial para integrandos complicados, e é também por que o método se estende naturalmente à propagação de incerteza: sorteando os próprios fatores de entrada de suas distribuições de incerteza em um laço externo, cada passagem de Monte Carlo produz uma realização de $P$, e o conjunto reproduz a distribuição de saída. O procedimento aninhado completo é exposto na validação por Monte Carlo.

Equação (5) — propagação de incerteza

O método final diz respeito não ao valor da integral, mas à sua incerteza. Como a Eq. (1) é um produto de fatores, as variâncias relativas dos fatores se somam. Para $P = \prod_i x_i$ com fatores estatisticamente independentes, uma propagação de primeira ordem dá

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} . \tag{5}$$

A Eq. (5) segue do diferencial logarítmico $\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i$ e é derivada integralmente, junto com os termos de covariância de entradas correlacionadas, na análise de incerteza. Seu papel entre os métodos é dizer-nos, antes de qualquer amostragem cara, qual entrada domina o erro da saída: porque os termos se somam em quadratura, a maior incerteza relativa controla o resultado, e o esforço de refinamento deve ser direcionado para lá. No limite de pequena incerteza a dispersão de Monte Carlo da Eq. (4) reproduz a Eq. (5), de modo que as duas servem como verificações mútuas de consistência.

Convergência

Os três métodos de avaliação — Eqs. (2), (3) e (4) — carregam comportamentos de convergência qualitativamente diferentes, e escolher entre eles é uma questão de casar o método com o integrando.

A fatia representativa, Eq. (2), não converge em nenhum sentido de refinamento; é uma aproximação fixa cujo erro é fixado inteiramente por quão representativa é a janela escolhida. É uma primeira estimativa, não um esquema convergente.

A quadratura, Eq. (3), converge como uma potência do tamanho da célula: $O(h^2)$ para as regras do ponto médio e do trapézio, $O(h^4)$ para a regra de Simpson, em integrandos suaves. Reduzir o tamanho da célula à metade, portanto, corta o erro do trapézio por um fator de quatro. Essa convergência rápida e de alta ordem torna a quadratura o método de escolha para integrandos suaves e de baixa dimensão — precisamente o regime da Eq. (1) bidimensional quando os fatores são bem comportados. Sua fraqueza é que a contagem de células cresce como uma potência da dimensão, e que picos agudos forçam grades muito finas.

O Monte Carlo, Eq. (4), converge como $1/\sqrt{N}$: reduzir o erro por um fator de dez exige um aumento de cem vezes nas amostras. Isso é lento comparado à quadratura em baixas dimensões, mas o expoente $-\tfrac12$ é independente da dimensão, de modo que o Monte Carlo vence para integrandos de alta dimensão ou agudamente estruturados onde a grade da quadratura explode. Sua taxa lenta é rotineiramente melhorada por redução de variância: amostragem por importância, que concentra os sorteios onde o integrando é maior e reponderа por $f/g$; amostragem estratificada, que garante cobertura de sub-regiões importantes; e variáveis de controle, que subtraem uma grandeza correlacionada de integral conhecida. Cada uma delas abaixa a variância efetiva $\mathrm{Var}[f]$ no numerador do erro padrão sem mudar o escalonamento $1/\sqrt{N}$, de modo que um $N$ modesto alcança o que de outro modo exigiria ordens de grandeza mais amostras uniformes.

Na prática uma avaliação robusta da Eq. (1) usa os três: a Eq. (2) para uma ordem de grandeza de verificação, a Eq. (3) para o valor determinístico quando o integrando é suave, e a Eq. (4) com redução de variância para a propagação de incerteza e para qualquer regime em que a grade se torne impraticável. A lei de propagação Eq. (5) então fornece o orçamento de erro analítico que se espera que a amostragem reproduza.

Leitura adicional

• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling e B. P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3ª ed. (Cambridge University Press, 2007) — sobre regras de quadratura, suas ordens de erro, e integração de Monte Carlo com redução de variância.
• N. Metropolis e S. Ulam, “The Monte Carlo Method,” Journal of the American Statistical Association 44 (1949), 335–341 — o artigo fundador do método subjacente à Eq. (4).
• C. P. Robert e G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2ª ed. (Springer, 2004) — um tratamento moderno e completo de estimadores, convergência e redução de variância.
• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2ª ed. (University Science Books, 1997) — sobre a lei de propagação da Eq. (5).