Méthodes : discrétisation, échantillonnage et convergence

Ce chapitre expose, dans le style d’une section « méthodes », les procédures de calcul par lesquelles un nombre est extrait de la Schubart Master Formula. Il va du bilan maître continu à son évaluation pratique en cinq étapes numérotées : l’intégrale exacte, sa réduction à une tranche représentative, sa discrétisation en somme de quadrature, son estimation par Monte-Carlo, et la propagation de l’incertitude d’entrée. Chaque relation clé est numérotée afin que le texte environnant et les chapitres ultérieurs puissent s’y référer sans ambiguïté par « Éq. (n) ». La dérivation analytique complète qui motive ces étapes est donnée dans la dérivation complète ; ici l’accent est mis sur la manière dont l’intégrale est effectivement calculée et sur les erreurs que chaque méthode comporte.

Équation (1) — le bilan développé

Le point de départ est la représentation physique développée de la Schubart Master Formula — l’identité comptable de la puissance convertie instantanée écrite sous sa forme spectrale–transport,

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta \tag{1}$$

où l’intégration porte sur l’énergie incidente $E$ et la coordonnée angulaire $\theta$, et où les cinq facteurs sont la densité de flux, la section efficace de diffusion, le transfert de quantité de mouvement effectif, la vitesse des phonons et le rendement de conversion. L’Éq. (1) est un double intégral sur un domaine à deux dimensions ; chaque méthode qui suit dans ce chapitre est une façon de l’évaluer. La comptabilité dimensionnelle qui montre que le membre de droite se réduit à des watts est menée dans l’analyse dimensionnelle, et est supposée acquise ici.

Équation (2) — tranche représentative

Lorsque l’intégrande varie lentement sur une fenêtre bien choisie $\Delta E \times \Delta\theta$, ou lorsqu’on veut une première estimation, l’Éq. (1) se réduit à une seule tranche représentative en remplaçant l’intégrale par l’intégrande évalué à des valeurs représentatives multiplié par la taille de la fenêtre,

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E\,\Delta\theta . \tag{2}$$

L’Éq. (2) est la forme en valeur moyenne de l’Éq. (1) : elle est exacte si les facteurs sont constants sur la fenêtre et une approximation contrôlée sinon. Sa validité est exactement la condition de moyennage représentatif de l’Hypothèse C dans les hypothèses et limites — la fenêtre doit être assez large pour être représentative mais assez étroite pour que l’intégrande ne varie pas d’un bout à l’autre. L’Éq. (2) est inestimable pour les estimations d’ordre de grandeur et pour vérifier qu’un calcul plus complet n’a pas dévié, mais elle ne doit pas être crue là où l’intégrande est fortement piqué, par exemple à travers une résonance de section efficace.

Équation (3) — discrétisation par quadrature

Pour évaluer l’Éq. (1) sans supposer une seule tranche représentative, le domaine est partitionné en une grille de cellules indexées par $j$ (en énergie) et $k$ (en angle), et l’intégrale est approchée par une somme de Riemann ou de quadrature sur ces cellules,

$$P \approx \sum_{j,k} \Phi_{jk}\,\sigma_j\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E_j\,\Delta\theta_k , \tag{3}$$

où $\Phi_{jk}$ et $\sigma_j$ sont les valeurs des facteurs échantillonnées aux centres des cellules et $\Delta E_j$, $\Delta\theta_k$ sont les largeurs des cellules. L’Éq. (3) est simplement l’Éq. (2) sommée sur de nombreuses tranches ; à mesure que les cellules rétrécissent, elle converge vers l’Éq. (1). Une règle du point milieu uniforme telle qu’écrite a une erreur de discrétisation par cellule d’ordre $(\Delta E)^3$ et $(\Delta\theta)^3$ dans la dérivée seconde de l’intégrande, de sorte que l’erreur globale de la règle du point milieu ou du trapèze croît comme $O(h^2)$ en la taille de cellule $h$ ; la règle de Simpson améliore cela à $O(h^4)$ sur des intégrandes lisses. Les grilles non uniformes qui placent les cellules plus densément là où l’intégrande varie le plus vite — autour d’un pic spectral, par exemple — récupèrent la précision bien plus économiquement que le raffinement uniforme. Cette évaluation sur grille est l’ossature de la simulation numérique déterministe.

Équation (4) — l’estimateur de Monte-Carlo

La quadrature sur grille devient coûteuse lorsque l’intégrande est de haute dimension, fortement piqué ou de forme malcommode, car le nombre de cellules croît comme une puissance de la dimension. L’alternative de Monte-Carlo réécrit l’intégrale comme une espérance et l’estime par échantillonnage aléatoire. En tirant $N$ points $x_n = (E_n,\theta_n)$ du domaine et en notant $f(x)$ l’intégrande complet de l’Éq. (1) multiplié par le volume du domaine, l’estimateur est la moyenne d’échantillon

$$\hat P = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} f(x_n), \qquad \mathrm{SE}\big[\hat P\big] \propto \frac{1}{\sqrt{N}} . \tag{4}$$

L’Éq. (4) est sans biais — son espérance égale la vraie intégrale — et son erreur-type décroît comme $1/\sqrt{N}$, indépendamment de la dimension du domaine. Cette indépendance vis-à-vis de la dimension est la raison pour laquelle Monte-Carlo dépasse la quadrature sur grille tensorielle pour les intégrandes compliqués, et c’est aussi pourquoi la méthode s’étend naturellement à la propagation d’incertitude : en tirant les facteurs d’entrée eux-mêmes de leurs distributions d’incertitude dans une boucle externe, chaque passe de Monte-Carlo produit une réalisation de $P$, et l’ensemble reproduit la distribution de sortie. La procédure imbriquée complète est exposée dans la validation Monte-Carlo.

Équation (5) — propagation d’incertitude

La dernière méthode ne concerne pas la valeur de l’intégrale mais son incertitude. Parce que l’Éq. (1) est un produit de facteurs, les variances relatives des facteurs s’ajoutent. Pour $P = \prod_i x_i$ avec des facteurs statistiquement indépendants, une propagation au premier ordre donne

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} . \tag{5}$$

L’Éq. (5) découle du différentiel logarithmique $\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i$ et est dérivée en entier, avec les termes de covariance pour entrées corrélées, dans l’analyse d’incertitude. Son rôle parmi les méthodes est de nous dire, avant tout échantillonnage coûteux, quelle entrée domine l’erreur de sortie : parce que les termes s’ajoutent en quadrature, la plus grande incertitude relative contrôle le résultat, et l’effort de raffinement doit y être dirigé. Dans la limite de faible incertitude, la dispersion Monte-Carlo de l’Éq. (4) reproduit l’Éq. (5), de sorte que les deux servent de vérifications de cohérence mutuelles.

Convergence

Les trois méthodes d’évaluation — Éqs. (2), (3) et (4) — ont un comportement de convergence qualitativement différent, et choisir entre elles est une affaire d’adéquation de la méthode à l’intégrande.

La tranche représentative, Éq. (2), ne converge en aucun sens de raffinement ; c’est une approximation fixe dont l’erreur est entièrement fixée par le caractère représentatif de la fenêtre choisie. C’est une première estimation, non un schéma convergent.

La quadrature, Éq. (3), converge comme une puissance de la taille de cellule : $O(h^2)$ pour les règles du point milieu et du trapèze, $O(h^4)$ pour la règle de Simpson, sur des intégrandes lisses. Diviser par deux la taille de cellule réduit donc d’un facteur quatre l’erreur du trapèze. Cette convergence rapide et d’ordre élevé fait de la quadrature la méthode de choix pour les intégrandes lisses et de basse dimension — précisément le régime de l’Éq. (1) bidimensionnelle lorsque les facteurs sont bien comportés. Sa faiblesse est que le nombre de cellules croît comme une puissance de la dimension, et que les pics aigus imposent des grilles très fines.

La méthode de Monte-Carlo, Éq. (4), converge comme $1/\sqrt{N}$ : réduire l’erreur d’un facteur dix exige de centupler les échantillons. C’est lent comparé à la quadrature en basse dimension, mais l’exposant $-\tfrac12$ est indépendant de la dimension, de sorte que Monte-Carlo l’emporte pour les intégrandes de haute dimension ou fortement structurés où la grille de la quadrature explose. Son taux lent est couramment amélioré par réduction de variance : l’échantillonnage préférentiel, qui concentre les tirages là où l’intégrande est le plus grand et repondère par $f/g$ ; l’échantillonnage stratifié, qui garantit la couverture des sous-régions importantes ; et les variables de contrôle, qui soustraient une quantité corrélée d’intégrale connue. Chacune de ces techniques abaisse la variance effective $\mathrm{Var}[f]$ au numérateur de l’erreur-type sans changer l’échelonnement en $1/\sqrt{N}$, de sorte qu’un $N$ modeste accomplit ce qui exigerait sinon des ordres de grandeur d’échantillons uniformes en plus.

En pratique, une évaluation robuste de l’Éq. (1) utilise les trois : l’Éq. (2) pour un ordre de grandeur de contrôle, l’Éq. (3) pour la valeur déterministe lorsque l’intégrande est lisse, et l’Éq. (4) avec réduction de variance pour la propagation d’incertitude et pour tout régime où la grille devient impraticable. La loi de propagation Éq. (5) fournit alors le budget d’erreur analytique que l’échantillonnage est censé reproduire.

Pour aller plus loin

• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling et B. P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3e éd. (Cambridge University Press, 2007) — sur les règles de quadrature, leurs ordres d’erreur, et l’intégration Monte-Carlo avec réduction de variance.
• N. Metropolis et S. Ulam, « The Monte Carlo Method », Journal of the American Statistical Association 44 (1949), 335–341 — l’article fondateur de la méthode sous-jacente à l’Éq. (4).
• C. P. Robert et G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2e éd. (Springer, 2004) — un traitement moderne approfondi des estimateurs, de la convergence et de la réduction de variance.
• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2e éd. (University Science Books, 1997) — sur la loi de propagation de l’Éq. (5).