手法：離散化、サンプリング、収束

本章は、手法セクションのスタイルで、Schubart Master Formula から一つの数を取り出す計算手順を提示する。連続的なマスター収支から、その実際的な評価へと、五つの番号付きの段階を経て進む。すなわち、厳密な積分、その代表スライスへの還元、求積和としての離散化、モンテカルロによる推定、そして入力の不確かさの伝播である。各主要関係には番号が付けられ、周囲の本文や後の章がそれを「式 (n)」として曖昧さなく参照できるようにしてある。これらの段階を動機づける完全な解析的導出は完全な導出で与えられる。ここでの力点は積分が実際にどのように計算されるかと、各手法が担う誤差にある。

式 (1) — 拡張された収支

出発点は Schubart Master Formula の拡張された物理的表現——瞬時の変換出力に対する収支恒等式をそのスペクトル–輸送形で書き下したものである。

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta \tag{1}$$

ここで積分は入射エネルギー $E$ と角度座標 $\theta$ にわたって走り、五つの因子はフラックス密度、散乱断面積、実効運動量移行、フォノン速度、変換効率である。式 (1) は二次元領域にわたる二重積分であり、本章の後続のあらゆる手法はそれを評価する一つの方法である。右辺がワットに帰着することを示す次元の帳尻は次元解析で行われ、ここでは前提とする。

式 (2) — 代表スライス

被積分関数がよく選ばれた窓 $\Delta E \times \Delta\theta$ にわたって緩やかに変化するとき、あるいは最初の見積もりが欲しいとき、式 (1) は、積分を代表値で評価した被積分関数かける窓の大きさで置き換えることにより、単一の代表スライスへと還元される。

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E\,\Delta\theta . \tag{2}$$

式 (2) は式 (1) の平均値形である。すなわち、因子が窓にわたって一定であれば厳密であり、そうでなければ制御された近似である。その妥当性はまさに仮定と限界の仮定Cの代表平均化条件である——窓は代表的であるのに十分広く、かつ被積分関数がそれを横切って振れないほど十分狭くなければならない。式 (2) はオーダー見積もりや、より完全な計算が道を外れていないことの確認にとって非常に有用だが、例えば断面積の共鳴を横切るような、被積分関数が鋭く尖っているところでは信頼してはならない。

式 (3) — 求積離散化

単一の代表スライスを仮定せずに式 (1) を評価するため、領域を（エネルギーで）$j$、（角度で）$k$ の添字で指標付けされたセルの格子に分割し、積分をそれらのセルにわたるリーマン和または求積和で近似する。

$$P \approx \sum_{j,k} \Phi_{jk}\,\sigma_j\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E_j\,\Delta\theta_k , \tag{3}$$

ここで $\Phi_{jk}$ と $\sigma_j$ はセル中心でサンプリングされた因子値であり、$\Delta E_j$、$\Delta\theta_k$ はセル幅である。式 (3) は単に式 (2) を多数のスライスにわたって和をとったものである。セルが縮むにつれて式 (1) に収束する。書かれたとおりの一様中点則は、被積分関数の二階微分において、セルあたり $(\Delta E)^3$ と $(\Delta\theta)^3$ のオーダーの離散化誤差を持つので、中点則または台形則の大域的誤差はセルサイズ $h$ について $O(h^2)$ としてスケールする。シンプソン則は滑らかな被積分関数ではこれを $O(h^4)$ に改善する。被積分関数が最も速く変化するところ——例えばスペクトルのピークの周り——にセルをより密に配置する非一様格子は、一様な細分化よりもはるかに安く精度を回復する。この格子に基づく評価は、決定論的な数値シミュレーションの背骨である。

式 (4) — モンテカルロ推定量

格子求積は、被積分関数が高次元であるか、鋭く尖っているか、扱いにくい形をしているときには高価になる。なぜならセルの数が次元のべきとして増えるからである。モンテカルロの代替は積分を期待値として書き換え、ランダムサンプリングによってそれを推定する。領域から $N$ 個の点 $x_n = (E_n,\theta_n)$ を引き、式 (1) の完全な被積分関数かける領域体積を $f(x)$ と書くと、推定量は標本平均

$$\hat P = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} f(x_n), \qquad \mathrm{SE}\big[\hat P\big] \propto \frac{1}{\sqrt{N}} . \tag{4}$$

である。式 (4) は不偏であり——その期待値は真の積分に等しい——その標準誤差は領域の次元によらず $1/\sqrt{N}$ として落ちる。その次元非依存性こそ、複雑な被積分関数についてモンテカルロがテンソル格子求積を追い越す理由であり、また手法が不確かさの伝播へと自然に拡張される理由でもある。すなわち、外側のループで入力因子自体をその不確かさ分布から引くことにより、各モンテカルロのパスが $P$ の一つの実現を生み、アンサンブルが出力分布を再現する。完全な入れ子手続きはモンテカルロ検証に提示されている。

式 (5) — 不確かさの伝播

最後の手法は積分の値ではなくその不確かさに関わる。式 (1) は因子の積であるため、因子の相対分散が足し合わされる。統計的に独立な因子を持つ $P = \prod_i x_i$ について、一次の伝播は

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} . \tag{5}$$

を与える。式 (5) は対数微分 $\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i$ から従い、相関した入力の共分散項とともに不確かさ解析で完全に導出される。手法の中でのその役割は、いかなる高価なサンプリングの前にも、どの入力が出力誤差を支配するかを教えることである。すなわち、項が二乗和で足し合わされるため、最大の相対不確かさが結果を制御し、細分化の労力はそこに向けられるべきである。小さい不確かさの極限では、式 (4) のモンテカルロの広がりが式 (5) を再現するので、両者は相互の整合性の検査として役立つ。

収束

三つの評価手法——式 (2)、(3)、(4)——は質的に異なる収束挙動を担い、それらの間の選択は手法を被積分関数に合わせる問題である。

代表スライス、式 (2) は、いかなる細分化の意味でも収束しない。それは固定された近似であり、その誤差は選ばれた窓がどれだけ代表的であるかによって完全に定まる。それは最初の見積もりであって、収束する方式ではない。

求積、式 (3) は、セルサイズのべきとして収束する。すなわち、滑らかな被積分関数では中点則と台形則で $O(h^2)$、シンプソン則で $O(h^4)$ である。したがってセルサイズを半分にすると台形誤差は四分の一になる。この速く高次の収束が、求積を滑らかで低次元の被積分関数——まさに因子が行儀よいときの二次元の式 (1) の領域——にとって選択すべき手法にする。その弱点は、セル数が次元のべきとして増えること、そして鋭いピークが非常に細かい格子を強いることである。

モンテカルロ、式 (4) は、$1/\sqrt{N}$ として収束する。すなわち、誤差を十分の一に減らすには標本を百倍にすることが要る。これは低次元では求積に比べて遅いが、指数 $-\tfrac12$ は次元によらないので、求積の格子が爆発する高次元または鋭く構造化された被積分関数についてはモンテカルロが勝つ。その遅い速度は分散低減によって日常的に改善される。すなわち、被積分関数が最大のところに引きを集中させ $f/g$ で再重み付けする重点サンプリング、重要な部分領域のカバレッジを保証する層化サンプリング、そして既知の積分を持つ相関量を差し引く制御変量である。これらのそれぞれは、$1/\sqrt{N}$ のスケーリングを変えずに標準誤差の分子の実効分散 $\mathrm{Var}[f]$ を下げ、控えめな $N$ で、さもなければオーダー単位でより多くの一様標本を要することを達成する。

実際には、式 (1) の頑健な評価は三つすべてを用いる。すなわち、健全性の確認のためのオーダー見積もりに式 (2)、被積分関数が滑らかなときの決定論的な値に式 (3)、そして不確かさの伝播と格子が非実際的になるいかなる領域にも分散低減を伴う式 (4) である。そして伝播則 (5) が、サンプリングが再現すると期待される解析的な誤差収支を供給する。

さらに読むために

• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2007) — 求積則、その誤差オーダー、そして分散低減を伴うモンテカルロ積分について。
• N. Metropolis and S. Ulam, “The Monte Carlo Method,” Journal of the American Statistical Association 44 (1949), 335–341 — 式 (4) の基礎にある手法の創始論文。
• C. P. Robert and G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2nd ed. (Springer, 2004) — 推定量、収束、分散低減の徹底した現代的な取り扱い。
• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2nd ed. (University Science Books, 1997) — 式 (5) の伝播則について。