Методы: дискретизация, выборка и сходимость

Эта глава излагает, в стиле раздела методов, вычислительные процедуры, которыми из Schubart Master Formula извлекается число. Она движется от непрерывного основного баланса к его практическому вычислению в пяти нумерованных шагах: точный интеграл, его редукция к представительному срезу, его дискретизация как квадратурной суммы, его оценка методом Монте-Карло и перенос входной неопределённости. Каждое ключевое соотношение пронумеровано, чтобы окружающий текст и последующие главы могли ссылаться на него однозначно как на «Ур. (n)». Полный аналитический вывод, мотивирующий эти шаги, дан в полном выводе; здесь акцент на том, как интеграл фактически вычисляется, и на ошибках, которые несёт каждый метод.

Уравнение (1) — расширенный баланс

Отправная точка — расширенное физическое представление Schubart Master Formula — балансовое тождество для мгновенно преобразованной мощности, записанное в его спектрально-транспортной форме,

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta \tag{1}$$

где интегрирование идёт по падающей энергии $E$ и угловой координате $\theta$, а пять множителей — это плотность потока, сечение рассеяния, эффективная передача импульса, скорость фононов и эффективность преобразования. Ур. (1) — двойной интеграл по двумерной области; каждый последующий метод в этой главе есть способ его вычислить. Размерная бухгалтерия, показывающая, что правая часть сводится к ваттам, проведена в размерном анализе и здесь предполагается.

Уравнение (2) — представительный срез

Когда подынтегральное выражение медленно меняется на хорошо выбранном окне $\Delta E \times \Delta\theta$ или когда нужна первая оценка, Ур. (1) сводится к единственному представительному срезу заменой интеграла подынтегральным выражением, вычисленным при представительных значениях, умноженным на размер окна,

$$P \approx \Phi\,\sigma\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E\,\Delta\theta . \tag{2}$$

Ур. (2) — форма среднего значения Ур. (1): оно точно, если множители постоянны на окне, и контролируемое приближение в противном случае. Его справедливость — в точности условие представительного усреднения из Предположения C в предположениях и ограничениях — окно должно быть достаточно широким, чтобы быть представительным, и всё же достаточно узким, чтобы подынтегральное выражение не колебалось на нём. Ур. (2) бесценно для оценок порядка величины и для проверки того, что более полный расчёт не сбился, но ему нельзя доверять там, где подынтегральное выражение резко пиковое, например на резонансе сечения.

Уравнение (3) — квадратурная дискретизация

Чтобы вычислить Ур. (1) без предположения о единственном представительном срезе, область разбивается на сетку ячеек, индексированных $j$ (по энергии) и $k$ (по углу), и интеграл аппроксимируется суммой Римана или квадратурной суммой по этим ячейкам,

$$P \approx \sum_{j,k} \Phi_{jk}\,\sigma_j\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;\Delta E_j\,\Delta\theta_k , \tag{3}$$

где $\Phi_{jk}$ и $\sigma_j$ — значения множителей, взятые в центрах ячеек, а $\Delta E_j$, $\Delta\theta_k$ — ширины ячеек. Ур. (3) — просто Ур. (2), просуммированное по многим срезам; по мере уменьшения ячеек оно сходится к Ур. (1). Равномерное правило средней точки, как записано, имеет ошибку дискретизации на ячейку порядка $(\Delta E)^3$ и $(\Delta\theta)^3$ по второй производной подынтегрального выражения, так что глобальная ошибка правила средней точки или трапеций масштабируется как $O(h^2)$ в размере ячейки $h$; правило Симпсона улучшает это до $O(h^4)$ на гладких подынтегральных выражениях. Неравномерные сетки, размещающие ячейки плотнее там, где подынтегральное выражение меняется быстрее всего — скажем, вокруг спектрального пика — восстанавливают точность гораздо дешевле, чем равномерное измельчение. Это вычисление на основе сетки — хребет детерминированного численного моделирования.

Уравнение (4) — оценка методом Монте-Карло

Сеточная квадратура становится дорогой, когда подынтегральное выражение многомерно, резко пиково или неудобно по форме, потому что число ячеек растёт как степень размерности. Альтернатива Монте-Карло переписывает интеграл как математическое ожидание и оценивает его случайной выборкой. Беря $N$ точек $x_n = (E_n,\theta_n)$ из области и обозначая через $f(x)$ полное подынтегральное выражение Ур. (1), умноженное на объём области, оценкой является выборочное среднее

$$\hat P = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} f(x_n), \qquad \mathrm{SE}\big[\hat P\big] \propto \frac{1}{\sqrt{N}} . \tag{4}$$

Ур. (4) несмещённо — его математическое ожидание равно истинному интегралу — а его стандартная ошибка падает как $1/\sqrt{N}$, независимо от размерности области. Эта независимость от размерности — причина, по которой Монте-Карло обгоняет тензорно-сеточную квадратуру для сложных подынтегральных выражений, и это также причина, по которой метод естественно расширяется на перенос неопределённости: беря сами входные множители из их распределений неопределённости во внешнем цикле, каждый проход Монте-Карло даёт одну реализацию $P$, а ансамбль воспроизводит выходное распределение. Полная вложенная процедура изложена в валидации Монте-Карло.

Уравнение (5) — перенос неопределённости

Последний метод касается не значения интеграла, а его неопределённости. Поскольку Ур. (1) есть произведение множителей, относительные дисперсии множителей складываются. Для $P = \prod_i x_i$ со статистически независимыми множителями перенос первого порядка даёт

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} . \tag{5}$$

Ур. (5) следует из логарифмического дифференциала $\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i$ и выводится полностью, вместе с ковариационными членами коррелированных входов, в анализе неопределённости. Его роль среди методов — сказать нам, прежде чем какая-либо дорогая выборка, какой вход доминирует над ошибкой выхода: поскольку члены складываются в квадратуре, наибольшая относительная неопределённость управляет результатом, и усилия по уточнению должны направляться туда. В пределе малой неопределённости разброс Монте-Карло из Ур. (4) воспроизводит Ур. (5), так что оба служат взаимными проверками согласованности.

Сходимость

Три метода вычисления — Ур. (2), (3) и (4) — несут качественно разное поведение сходимости, и выбор между ними — вопрос согласования метода с подынтегральным выражением.

Представительный срез, Ур. (2), не сходится ни в каком смысле измельчения; это фиксированное приближение, чья ошибка задаётся целиком тем, насколько представительно выбранное окно. Это первая оценка, а не сходящаяся схема.

Квадратура, Ур. (3), сходится как степень размера ячейки: $O(h^2)$ для правил средней точки и трапеций, $O(h^4)$ для правила Симпсона, на гладких подынтегральных выражениях. Поэтому уменьшение размера ячейки вдвое снижает ошибку трапеций в четыре раза. Эта быстрая сходимость высокого порядка делает квадратуру методом выбора для гладких, малоразмерных подынтегральных выражений — в точности режим двумерного Ур. (1), когда множители ведут себя хорошо. Её слабость в том, что число ячеек растёт как степень размерности, и что резкие пики вынуждают очень мелкие сетки.

Монте-Карло, Ур. (4), сходится как $1/\sqrt{N}$: снижение ошибки в десять раз требует стократного увеличения числа выборок. Это медленно по сравнению с квадратурой в малых размерностях, но показатель $-\tfrac12$ независим от размерности, так что Монте-Карло выигрывает для многомерных или резко структурированных подынтегральных выражений, где сетка квадратуры взрывается. Её медленная скорость рутинно улучшается снижением дисперсии: выборкой по значимости, которая концентрирует отсчёты там, где подынтегральное выражение наибольшее, и перевзвешивает на $f/g$; стратифицированной выборкой, которая гарантирует покрытие важных подобластей; и контрольными переменными, которые вычитают коррелированную величину с известным интегралом. Каждый из них понижает эффективную дисперсию $\mathrm{Var}[f]$ в числителе стандартной ошибки, не меняя масштабирования $1/\sqrt{N}$, так что умеренное $N$ достигает того, что иначе потребовало бы на порядки больше равномерных отсчётов.

На практике надёжное вычисление Ур. (1) использует все три: Ур. (2) для проверочного порядка величины, Ур. (3) для детерминированного значения, когда подынтегральное выражение гладкое, и Ур. (4) со снижением дисперсии для переноса неопределённости и для любого режима, где сетка становится непрактичной. Закон переноса Ур. (5) затем поставляет аналитический бюджет ошибки, который выборка должна воспроизвести.

Дополнительное чтение

• W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd ed. (Cambridge University Press, 2007) — о квадратурных правилах, порядках их ошибок и интегрировании Монте-Карло со снижением дисперсии.
• N. Metropolis and S. Ulam, “The Monte Carlo Method,” Journal of the American Statistical Association 44 (1949), 335–341 — основополагающая работа метода, лежащего в основе Ур. (4).
• C. P. Robert and G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2nd ed. (Springer, 2004) — тщательное современное изложение оценок, сходимости и снижения дисперсии.
• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2nd ed. (University Science Books, 1997) — о законе переноса Ур. (5).