Análise de Incerteza e Propagação de Erro

Uma predição sem uma incerteza não é uma afirmação científica. Uma vez que a Schubart Master Formula retorna um número para $P(t)$, a questão imediata é quanto esse número pode ser confiável, dado que suas entradas — o fluxo, a seção de choque, a transferência de momento, a velocidade dos fônons, a eficiência — são cada uma conhecidas apenas com alguma precisão finita. Este capítulo deriva como essas incertezas de entrada se propagam para a saída, e chega a um resultado que é excepcionalmente limpo por causa da estrutura da formula: como $P$ é um produto de fatores, as variâncias relativas dos fatores simplesmente se somam. Esse único fato organiza toda a análise e nos diz num relance qual entrada vale a pena medir com mais cuidado.

A estrutura de produto e o log-diferencial

Escreva a formula, para fins de propagação, como um produto de fatores positivos,

$$P = \prod_i x_i ,$$

onde os $x_i$ representam os valores efetivos de $\Phi$, $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$, $\eta_{\text{conv}}$ e quaisquer fatores de medida que carreguem incerteza. A rota mais limpa para a lei de propagação é tomar o logaritmo antes de diferenciar. Como o logaritmo de um produto é uma soma,

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

o diferencial se separa aditivamente:

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{isto é}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

Esta é a afirmação exata de que uma variação fracionária na saída é a soma das variações fracionárias nas entradas — uma consequência direta da forma multiplicativa, e a semente de tudo o que segue.

Propagação de primeira ordem: as variâncias relativas se somam

Para converter o diferencial em uma variância, tomamos a expansão de Taylor de primeira ordem de $P$ em torno dos valores médios $\bar x_i$. Interpretando $\mathrm{d}x_i$ como um pequeno desvio aleatório $\delta x_i$ com média zero e variância $\sigma_{x_i}^2$, e supondo que os fatores sejam estatisticamente independentes, elevamos ao quadrado a relação $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ e tomamos esperanças. Os termos cruzados $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ se anulam para $i\neq j$ sob independência, deixando apenas a diagonal:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

Este é o resultado central do capítulo. A incerteza relativa ao quadrado da saída é a soma das incertezas relativas ao quadrado das entradas. Equivalentemente, as incertezas relativas se somam em quadratura. Isso vale em primeira ordem para qualquer produto de fatores independentes, independentemente de quantos sejam ou de quais unidades carreguem — a forma relativa é adimensional, de modo que o fluxo (em $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$) e a eficiência (adimensional) contribuem exatamente em pé de igualdade.

Comportamento do termo dominante

Como as contribuições se somam em quadratura, elas não se somam democraticamente: a maior incerteza relativa domina a soma. Se uma entrada é conhecida a $30\%$ e as outras a $5\%$ cada, a incerteza da saída é governada quase inteiramente pelo termo de $30\%$, já que $0{,}30^2 = 0{,}09$ faz empalidecer $0{,}05^2 = 0{,}0025$. A quadratura suprime os termos pequenos quadraticamente, de modo que o total fica próximo do único pior fator:

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{quando um termo domina.}$$

A consequência prática é decisiva. O esforço gasto apertando um fator já preciso é quase desperdiçado; o retorno vem de medir melhor o fator menos conhecido. Neste arcabouço o suspeito de sempre é a transferência de momento $\Delta p$ que quebra a simetria, discutida na análise de sigma, que é tipicamente a grandeza mais difícil de fixar e, portanto, a que estabelece a precisão da saída.

Entradas correlacionadas: os termos de covariância

A lei de quadratura limpa supõe independência. Quando duas entradas são correlacionadas — porque compartilham uma medição comum, uma calibração comum ou um acoplamento físico genuíno — os termos cruzados não mais se anulam, e a lei de propagação adquire contribuições de covariância:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

O sinal da correção importa. Fatores positivamente correlacionados (ambos derivam para cima juntos) inflam a variância da saída além da estimativa independente; fatores negativamente correlacionados cancelam-se parcialmente e a reduzem. Ignorar uma correlação positiva real produz, portanto, uma barra de erro falsamente otimista — um dos modos de falha mais comuns no relato de incerteza. As correlações relevantes aqui são exatamente os acoplamentos de fatores sinalizados como rupturas da Hipótese A em hipóteses e limitações: sempre que a forma de produto é ameaçada por saturação ou retroalimentação, os termos de covariância são a impressão digital quantitativa dessa ameaça.

Exemplo resolvido ilustrativo

Considere um conjunto puramente ilustrativo de incertezas relativas, escolhido apenas para mostrar a aritmética — nenhuma delas são valores medidos para qualquer sistema:

• fluxo $\Phi$: $10\%$,
• seção de choque $\sigma$: $15\%$,
• transferência de momento $\Delta p$: $25\%$,
• velocidade dos fônons $v_{\text{ph}}$: $5\%$,
• eficiência $\eta_{\text{conv}}$: $8\%$.

Supondo independência, a variância relativa da saída é a soma em quadratura

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0{,}10^2 + 0{,}15^2 + 0{,}25^2 + 0{,}05^2 + 0{,}08^2 = 0{,}01 + 0{,}0225 + 0{,}0625 + 0{,}0025 + 0{,}0064 = 0{,}1039 ,$$

de modo que

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0{,}1039} \approx 0{,}32 ,$$

cerca de $32\%$. Observe como o termo de $\Delta p$ sozinho ($0{,}0625$) fornece mais da metade do total, enquanto o termo de velocidade dos fônons de $5\%$ ($0{,}0025$) é essencialmente desprezível. Este é o comportamento do termo dominante tornado concreto: a precisão da saída é fixada quase inteiramente pela entrada menos conhecida. Se uma correlação positiva de, digamos, $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0{,}02$ existisse entre a seção de choque e a transferência de momento, o termo extra $2\times0{,}02 = 0{,}04$ empurraria a variância para $0{,}144$ e a incerteza da saída para $\approx 38\%$ — um alargamento substancial a partir de uma correlação modesta. Os números aqui são ordens de magnitude ilustrativas, não alegações.

Conexão com a amostragem de Monte Carlo

A lei de primeira ordem acima é uma aproximação linearizada, exata apenas no limite de pequenos desvios e de uma resposta localmente linear. Como $P$ é um produto de fatores positivos, sua distribuição de saída é geralmente assimétrica e de cauda longa em vez de gaussiana, e um intervalo simétrico $\pm\sigma_P$ subestima a cauda superior. A forma rigorosa de capturar a distribuição completa é amostrar as entradas de sua distribuição conjunta e avaliar a formula para cada sorteio — a propagação direta de Monte Carlo descrita em validação de Monte Carlo. Esse procedimento não faz nenhuma suposição de linearidade e respeita correlações automaticamente, desde que as entradas sejam sorteadas de uma distribuição conjunta com a estrutura de covariância correta. No limite de pequena incerteza, a dispersão de Monte Carlo reproduz a lei de quadratura acima, razão pela qual as duas são verificações consistentes uma da outra: a lei analítica dá a intuição e o diagnóstico do termo dominante, enquanto a amostragem dá a distribuição de saída honesta e possivelmente assimétrica. A largura dessa distribuição é o sigma de consistência de modelo reportado por todo o arcabouço, e pode ser explorado interativamente no playground. Uma instância numérica totalmente resolvida é conduzida no exemplo resolvido, e a repartição da variância total entre os fatores — qual termo medir primeiro — é desenvolvida como um orçamento de erro formal em sensibilidade e orçamento de erro.

Leitura adicional

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2ª ed. (University Science Books, 1997) — o tratamento padrão da regra do produto e da adição em quadratura de incertezas relativas.
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — o enunciado autoritativo da lei de propagação de incerteza, incluindo os termos de covariância.
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — a referência para a propagação de Monte Carlo quando a lei linearizada é inadequada.