Анализ неопределённости и распространение ошибок

Предсказание без неопределённости не является научным утверждением. Как только Schubart Master Formula возвращает число для $P(t)$, немедленный вопрос — насколько этому числу можно доверять, учитывая, что его входы — поток, сечение, передача импульса, скорость фононов, эффективность — каждый известны лишь с некоторой конечной точностью. Эта глава выводит, как эти входные неопределённости распространяются к выходу, и приходит к результату, необычайно чистому из-за структуры формулы: поскольку $P$ — это произведение факторов, относительные дисперсии факторов просто складываются. Этот единственный факт организует весь анализ и говорит нам с первого взгляда, какой вход стоит измерить тщательнее.

Структура-произведение и логарифмический дифференциал

Запишем формулу, в целях распространения, как произведение положительных факторов,

$$P = \prod_i x_i ,$$

где $x_i$ обозначают эффективные значения $\Phi$, $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$, $\eta_{\text{conv}}$ и любых факторов меры, несущих неопределённость. Чистейший путь к закону распространения — взять логарифм перед дифференцированием. Поскольку логарифм произведения есть сумма,

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

дифференциал разделяется аддитивно:

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{that is}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

Это точное утверждение того, что долевое изменение выхода есть сумма долевых изменений входов — прямое следствие мультипликативной формы и семя всего, что следует.

Распространение первого порядка: относительные дисперсии складываются

Чтобы превратить дифференциал в дисперсию, возьмём разложение Тейлора первого порядка $P$ около средних значений $\bar x_i$. Интерпретируя $\mathrm{d}x_i$ как малое случайное отклонение $\delta x_i$ с нулевым средним и дисперсией $\sigma_{x_i}^2$ и предполагая, что факторы статистически независимы, возведём в квадрат соотношение $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ и возьмём математические ожидания. Перекрёстные члены $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ исчезают для $i\neq j$ при независимости, оставляя только диагональ:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

Это центральный результат главы. Квадрат относительной неопределённости выхода есть сумма квадратов относительных неопределённостей входов. Эквивалентно, относительные неопределённости складываются в квадратуре. Это выполняется в первом порядке для любого произведения независимых факторов, независимо от того, сколько их и какие единицы они несут — относительная форма безразмерна, так что поток (в $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$) и эффективность (безразмерная) вносят вклад на совершенно равных основаниях.

Поведение доминирующего члена

Поскольку вклады складываются в квадратуре, они складываются не демократически: наибольшая относительная неопределённость доминирует в сумме. Если один вход известен до $30\%$, а остальные до $5\%$ каждый, неопределённость выхода управляется почти целиком членом $30\%$, поскольку $0.30^2 = 0.09$ затмевает $0.05^2 = 0.0025$. Квадратура подавляет малые члены квадратично, так что итог близок к единственному худшему фактору:

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{when one term dominates.}$$

Практическое следствие решающее. Усилия, потраченные на ужесточение уже точного фактора, почти напрасны; отдача приходит от того, чтобы измерить лучше наименее известный фактор. В этой концепции обычный подозреваемый — нарушающая симметрию передача импульса $\Delta p$, обсуждаемая в разделе сигма-анализ, которую обычно труднее всего зафиксировать и которая поэтому задаёт точность выхода.

Коррелированные входы: ковариационные члены

Чистый закон квадратуры предполагает независимость. Когда два входа коррелированы — потому что разделяют общее измерение, общую калибровку или подлинную физическую связь — перекрёстные члены больше не исчезают, и закон распространения приобретает ковариационные вклады:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

Знак поправки важен. Положительно коррелированные факторы (оба дрейфуют вверх вместе) раздувают дисперсию выхода сверх независимой оценки; отрицательно коррелированные факторы частично сокращаются и снижают её. Игнорирование реальной положительной корреляции поэтому производит ложно оптимистичную планку ошибки — один из самых частых режимов отказа в сообщении неопределённостей. Релевантные здесь корреляции — это в точности связи факторов, помеченные как нарушения Предположения A в разделе предположения и ограничения: всякий раз, когда форме-произведению угрожают насыщение или обратная связь, ковариационные члены являются количественным отпечатком этой угрозы.

Иллюстративный разобранный пример

Рассмотрим чисто иллюстративный набор относительных неопределённостей, выбранных только чтобы показать арифметику — ни одна из них не является измеренным значением для какой-либо системы:

• поток $\Phi$: $10\%$,
• сечение $\sigma$: $15\%$,
• передача импульса $\Delta p$: $25\%$,
• скорость фононов $v_{\text{ph}}$: $5\%$,
• эффективность $\eta_{\text{conv}}$: $8\%$.

Предполагая независимость, относительная дисперсия выхода есть квадратурная сумма

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0.10^2 + 0.15^2 + 0.25^2 + 0.05^2 + 0.08^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0064 = 0.1039 ,$$

так что

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.1039} \approx 0.32 ,$$

около $32\%$. Заметьте, как один член $\Delta p$ ($0.0625$) поставляет более половины итога, тогда как член скорости фононов $5\%$ ($0.0025$) по существу пренебрежим. Это поведение доминирующего члена, сделанное конкретным: точность выхода задаётся почти целиком наименее известным входом. Если бы существовала положительная корреляция, скажем, $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0.02$ между сечением и передачей импульса, дополнительный член $2\times0.02 = 0.04$ подтолкнул бы дисперсию до $0.144$, а неопределённость выхода до $\approx 38\%$ — существенное расширение от скромной корреляции. Числа здесь — иллюстративные порядки величины, а не утверждения.

Связь с выборкой Монте-Карло

Закон первого порядка выше — это линеаризованное приближение, точное только в пределе малых отклонений и локально линейного отклика. Поскольку $P$ — это произведение положительных факторов, его распределение выхода обычно скошено и длиннохвосто, а не гауссово, и симметричный интервал $\pm\sigma_P$ занижает верхний хвост. Строгий способ уловить полное распределение — выбирать входы из их совместного распределения и вычислять формулу для каждой выборки — прямое распространение Монте-Карло, описанное в разделе валидация методом Монте-Карло. Эта процедура не делает предположения о линейности и автоматически учитывает корреляции, при условии, что входы выбираются из совместного распределения с правильной ковариационной структурой. В пределе малой неопределённости разброс Монте-Карло воспроизводит закон квадратуры выше, поэтому эти два являются согласованными проверками друг друга: аналитический закон даёт интуицию и диагноз доминирующего члена, а выборка даёт честное, возможно асимметричное распределение выхода. Ширина этого распределения — сигма модельной непротиворечивости, сообщаемая на всём протяжении концепции, и её можно исследовать интерактивно в песочнице. Полностью разобранный численный случай проведён в разделе разобранный пример, а распределение полной дисперсии по факторам — какой член измерять первым — развито как формальный бюджет ошибок в разделе чувствительность и бюджет ошибок.

Дальнейшее чтение

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2nd ed. (University Science Books, 1997) — стандартное рассмотрение правила произведения и квадратурного сложения относительных неопределённостей.
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — авторитетная формулировка закона распространения неопределённости, включая ковариационные члены.
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — справочник по распространению Монте-Карло, когда линеаризованный закон неадекватен.