Скорость фононов

Скорость фононов $v_{\text{ph}}$ — это множитель переноса в Schubart Master Formula. Когда взаимодействие отложило направленный импульс в преобразователь, этот импульс должен быть унесён от места взаимодействия достаточно быстро, чтобы быть собранным прежде, чем он рассеется в неупорядоченное тепловое движение. $v_{\text{ph}}$ — это скорость, с которой решётка выполняет этот перенос. Это связь между микроскопическим событием и макроскопическим выходом, и она входит в уравнение как

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Уровень 1 — Интуиция

Представьте цепочку людей, передающих вёдра воды от колодца к пожару. Недостаточно того, что вода зачерпывается у колодца; её нужно передавать по цепочке достаточно быстро, чтобы достичь огня прежде, чем она расплескается. Если цепочка движется бойко, большая часть воды доходит; если мешкает, многое теряется по пути. $v_{\text{ph}}$ — это скорость такой цепочки внутри кристалла, темп, с которым решётка передаёт направленный импульс оттуда, где он был отложен, туда, где он может быть собран.

Суть метафоры — гонка с потерей. Направленный импульс — вещь хрупкая: оставленный на месте, он быстро перемешивается непрестанным тепловым толканием решётки, а перемешанный импульс ничего не вносит в суммарный ток. Быстрый перенос выигрывает гонку; медленный её проигрывает. Вот почему $v_{\text{ph}}$ появляется как умножающий множитель, а не как фиксированная константа. Материал может прекрасно связываться с полем и чисто нарушать симметрию, и всё же преобразовывать мало, если захваченный им импульс не удаётся вовремя унести. $v_{\text{ph}}$ измеряет, достаточно ли быстра решётка.

Уровень 2 — Физика

Физически $v_{\text{ph}}$ — это групповая скорость колебаний решётки — фононов — скорость, с которой колебательная энергия и несомый ею импульс фактически распространяются через кристалл. Существенно различать групповую скорость и фазовую: фазовая скорость описывает, как движутся отдельные гребни волны, но именно групповая скорость переносит энергию и сигнал. В длинноволновом, акустическом пределе групповая скорость приближается к скорости звука в материале, которая для твёрдых тел обычно имеет порядок тысяч метров в секунду — несколько километров в секунду есть представительная величина для многих кристаллических твёрдых тел. Вдали от этого предела групповая скорость задаётся наклоном дисперсионного соотношения фононов, $v_{\text{ph}} = \partial\omega/\partial k$, и может существенно отличаться от акустического значения; вблизи края зоны Бриллюэна для некоторых ветвей она может даже приближаться к нулю, где перенос застопоривается.

Величина $v_{\text{ph}}$ поэтому отражает жёсткость и плотность массы решётки: более жёсткие связи и более лёгкие атомы тяготеют к более высоким скоростям, более мягкие связи и более тяжёлые атомы — к более низким. Поскольку она управляет тем, как быстро направленный импульс удаляется из области взаимодействия, $v_{\text{ph}}$ задаёт ограниченный переносом потолок сбора: сколько бы направленного импульса $\Delta p$ ни производилось, вносит вклад лишь та доля, что достигает границы сбора прежде рандомизации, и эта доля растёт с $v_{\text{ph}}$. Это связывает множитель с характером переноса преобразователя как физического тела и соединяет его с рассмотрением устройства как ограниченной системы в границах системы. Переносимый ею направленный импульс сам производится множителем передачи импульса, так что эти два читаются как производитель и носитель.

Уровень 3 — Математика

Скорость фононов несёт размерность скорости в СИ,

$$[v_{\text{ph}}] = \mathrm{m\,s^{-1}} ,$$

и определяется как групповая скорость моды решётки,

$$v_{\text{ph}} = \frac{\partial \omega}{\partial k} ,$$

производная угловой частоты фонона $\omega$ по волновому вектору $k$. В акустическом пределе $\omega \approx c_s k$, так что $v_{\text{ph}} \to c_s$, скорости звука; в общем случае $v_{\text{ph}}$ меняется вдоль дисперсионной кривой.

Внутри подынтегрального выражения $v_{\text{ph}}$ играет роль превращения отложенной величины в поток этой величины. Произведение $\Delta p\,v_{\text{ph}}$ имеет размерность импульса на скорость — то есть темпа переноса энергии на одно взаимодействие, $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$, — энергии в единицу времени, уносимой каналом переноса. Умножение на плотность темпа взаимодействий $\Phi\,\sigma$ затем строит движение к мощности, а эффективность преобразования применяет окончательную долю потерь. В предельном случае $v_{\text{ph}} \to 0$ — мода на границе зоны или сильно локализованное, нераспространяющееся возбуждение — канал переноса закрывается, и соответствующий вклад в выход обращается в нуль, правильно отражая, что импульс, который не может двигаться, не может быть собран. В противоположном пределе очень высокой $v_{\text{ph}}$ перенос перестаёт быть узким местом, и выходом управляют другие множители. Точное размещение и единицы каталогизированы в определениях переменных.

В балансе

$v_{\text{ph}}$ уносит направленный импульс, произведённый множителем передачи импульса, гоня его к границе сбора прежде, чем тепловая рандомизация его сотрёт. Она действует только на взаимодействия, уже отобранные сечением рассеяния, и какой бы импульс она ни доставляла, он затем подвержен окончательным потерям выпрямления эффективности преобразования. Быстрый перенос и чистое нарушение симметрии дополняют друг друга: ни один сам по себе не достаточен.

Литература

• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2005). Стандартное изложение дисперсии фононов, групповой скорости и акустического предела.
• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Основополагающее изложение динамики решётки и фононного переноса.
• J. M. Ziman, Electrons and Phonons: The Theory of Transport Phenomena in Solids (Oxford University Press, 1960). Подробная теория фононного переноса, лежащая в основе $v_{\text{ph}}$.