フォノン速度

フォノン速度 $v_{\text{ph}}$ は Schubart Master Formula の輸送因子である。相互作用が変換器に指向的運動量を付与したならば、その運動量は無秩序な熱運動へ散乱する前に収集されるのに十分な速さで相互作用点から運び去られなければならない。$v_{\text{ph}}$ は格子がこの輸送を行う速度である。それは微視的な事象と巨視的な出力との間の連結であり、方程式に次のように入る。

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

深度 1 — 直観

井戸から火事場へ水を手渡しで運ぶバケツリレーを思い浮かべてほしい。井戸で水を汲むだけでは十分でない。それがこぼれる前に火事場へ届くよう、列に沿って十分速く手渡されなければならない。列が機敏に動けば、水のほとんどが届く。もたつけば、多くが途中で失われる。$v_{\text{ph}}$ は結晶の内部でのそのリレーの速度である——格子が指向的運動量を付与された場所から収集されうる場所へ手渡す速度である。

この比喩の要点は損失との競争である。指向的運動量は脆いものである。その場に放置されると、格子の絶え間ない熱的揺動によって速やかにかき乱され、かき乱された運動量は正味の電流に何も寄与しない。速い輸送は競争に勝ち、遅い輸送は負ける。これが $v_{\text{ph}}$ が固定定数ではなく乗ずる因子として現れる理由である。材料は場に見事に結合し対称性を清くに破りうるが、それでも捕捉した運動量を間に合ううちに運び去れなければほとんど変換しない。$v_{\text{ph}}$ は格子が十分に機敏であるかどうかを測る。

深度 2 — 物理

物理的には、$v_{\text{ph}}$ は格子振動——フォノン——の群速度であり、振動エネルギーとそれが運ぶ運動量が実際に結晶を通して伝播する速度である。群速度を位相速度から区別することが肝要である。位相速度は個々の波の山がどのように動くかを記述するが、エネルギーと信号を輸送するのは群速度である。長波長の音響極限では、群速度は材料中の音速に近づき、固体についてこれは典型的には毎秒数千メートルのオーダーであって、毎秒数キロメートルは多くの結晶性固体にとって代表的な大きさである。その極限から離れると、群速度はフォノン分散関係の傾き $v_{\text{ph}} = \partial\omega/\partial k$ によって定まり、音響値から大きく異なりうる。ブリルアンゾーンの端付近では、特定の分枝について群速度はゼロに近づくことさえあり、そこでは輸送が停滞する。

したがって $v_{\text{ph}}$ の大きさは格子の剛性と質量密度を反映する。より硬い結合とより軽い原子はより高い速度へ傾き、より柔らかい結合とより重い原子はより低い速度へ傾く。$v_{\text{ph}}$ は指向的運動量が相互作用領域からどれだけ速く取り除かれるかを支配するので、収集に対して輸送律速の上限を設定する。すなわち、どれほど多くの指向的運動量 $\Delta p$ が生成されても、ランダム化する前に収集境界に到達する割合だけが寄与し、その割合は $v_{\text{ph}}$ とともに増大する。これはこの因子を、物理的な物体としての変換器の輸送的性格に結びつけ、それを系の境界における有界系としての装置の扱いに連結する。それが輸送する指向的運動量はそれ自体運動量移行因子によって生成されるので、両者は生成者と運搬者として読まれる。

深度 3 — 数学

フォノン速度は速度の SI 次元を担い、

$$[v_{\text{ph}}] = \mathrm{m\,s^{-1}} ,$$

格子モードの群速度として定義される。

$$v_{\text{ph}} = \frac{\partial \omega}{\partial k} ,$$

すなわちフォノン角周波数 $\omega$ の波数ベクトル $k$ に関する微分である。音響極限では $\omega \approx c_s k$ であるから $v_{\text{ph}} \to c_s$、すなわち音速となる。一般には $v_{\text{ph}}$ は分散曲線にわたって変化する。

被積分関数の内部では、$v_{\text{ph}}$ は付与された量をその量の流束へ変換する役割をもつ。積 $\Delta p\,v_{\text{ph}}$ は運動量かける速度の次元——すなわち相互作用あたりのエネルギー輸送速度 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$——をもち、これは輸送チャネルによって運び去られる単位時間あたりのエネルギーである。相互作用速度密度 $\Phi\,\sigma$ を乗じることで出力へと積み上がり、変換効率が最終的な損失割合を適用する。極限的な場合 $v_{\text{ph}} \to 0$——ゾーン境界のモード、あるいは強く局在した非伝播励起——では、輸送チャネルが閉じ、出力への対応する寄与が消失し、動けない運動量は収集できないことを正しく反映する。非常に高い $v_{\text{ph}}$ の反対の極限では、輸送がボトルネックであることをやめ、他の因子が出力を支配する。正確な配置と単位は変数定義に整理されている。

収支の中で

$v_{\text{ph}}$ は運動量移行因子によって生成された指向的運動量を運び去り、熱的ランダム化がそれを消し去る前に収集境界へと競走させる。それは散乱断面積によってすでに選別された相互作用に対してのみ作用し、それが供給するいかなる運動量もその後変換効率の最終的な整流損失にさらされる。速い輸送と清い対称性の破れは相補的である。どちらか単独では十分でない。

参考文献

• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2005). フォノン分散、群速度、音響極限の標準的な扱い。
• N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). 格子動力学とフォノン輸送の基礎的な説明。
• J. M. Ziman, Electrons and Phonons: The Theory of Transport Phenomena in Solids (Oxford University Press, 1960). $v_{\text{ph}}$ の基礎にあるフォノン輸送の詳細な理論。