Vitesse des phonons

La vitesse des phonons $v_{\text{ph}}$ est le facteur de transport de la Schubart Master Formula. Une fois qu’une interaction a déposé une quantité de mouvement dirigée dans le convertisseur, cette quantité de mouvement doit être emportée du site d’interaction assez vite pour être collectée avant de se disperser en mouvement thermique désordonné. $v_{\text{ph}}$ est la vitesse à laquelle le réseau accomplit ce transport. C’est le lien entre l’événement microscopique et la sortie macroscopique, et elle entre dans l’équation comme

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta .$$

Niveau 1 — Intuition

Pensez à une chaîne humaine se passant de l’eau d’un puits à un incendie. Il ne suffit pas que l’eau soit puisée au puits ; elle doit être transmise le long de la chaîne assez vite pour atteindre le feu avant de se renverser. Si la chaîne avance vivement, la majeure partie de l’eau arrive ; si elle traîne, beaucoup se perd en chemin. $v_{\text{ph}}$ est la vitesse de cette chaîne à l’intérieur du cristal — le rythme auquel le réseau transmet la quantité de mouvement dirigée de l’endroit où elle a été déposée vers l’endroit où elle peut être collectée.

Le sens de la métaphore est une course contre la perte. La quantité de mouvement dirigée est une chose fragile : laissée sur place, elle est rapidement brouillée par l’agitation thermique incessante du réseau, et une quantité de mouvement brouillée ne contribue en rien à un courant net. Un transport rapide gagne la course ; un transport lent la perd. C’est pourquoi $v_{\text{ph}}$ apparaît comme un facteur multiplicatif plutôt que comme une constante fixe. Un matériau peut se coupler magnifiquement au champ et briser la symétrie proprement, et pourtant convertir peu si la quantité de mouvement qu’il capte ne peut être emportée à temps. $v_{\text{ph}}$ mesure si le réseau est assez rapide.

Niveau 2 — La physique

Physiquement, $v_{\text{ph}}$ est la vitesse de groupe des vibrations du réseau — les phonons — la vitesse à laquelle l’énergie vibratoire et la quantité de mouvement qu’elle porte se propagent effectivement à travers le cristal. Il est essentiel de distinguer la vitesse de groupe de la vitesse de phase : la vitesse de phase décrit comment se déplacent les crêtes d’onde individuelles, mais c’est la vitesse de groupe qui transporte l’énergie et le signal. Dans la limite acoustique, aux grandes longueurs d’onde, la vitesse de groupe approche la vitesse du son dans le matériau, qui pour les solides est typiquement de l’ordre de milliers de mètres par seconde — plusieurs kilomètres par seconde est une grandeur représentative pour de nombreux solides cristallins. Hors de cette limite, la vitesse de groupe est fixée par la pente de la relation de dispersion des phonons, $v_{\text{ph}} = \partial\omega/\partial k$, et peut différer sensiblement de la valeur acoustique ; près du bord de la zone de Brillouin, elle peut même approcher zéro pour certaines branches, là où le transport s’arrête.

L’amplitude de $v_{\text{ph}}$ reflète donc la rigidité et la masse volumique du réseau : des liaisons plus rigides et des atomes plus légers tendent vers des vitesses plus élevées, des liaisons plus molles et des atomes plus lourds vers des vitesses plus basses. Parce qu’elle gouverne la rapidité avec laquelle la quantité de mouvement dirigée est retirée de la région d’interaction, $v_{\text{ph}}$ fixe un plafond limité par le transport sur la collecte : quelle que soit la quantité de mouvement dirigée $\Delta p$ produite, seule la fraction qui atteint la frontière de collecte avant de se randomiser contribue, et cette fraction croît avec $v_{\text{ph}}$. Cela rattache le facteur au caractère de transport du convertisseur en tant que corps physique, et le relie au traitement du dispositif comme système borné dans frontières du système. La quantité de mouvement dirigée qu’elle transporte est elle-même produite par le facteur de transfert de quantité de mouvement, de sorte que les deux se lisent comme producteur et transporteur.

Niveau 3 — Les mathématiques

La vitesse des phonons porte les dimensions SI d’une vitesse,

$$[v_{\text{ph}}] = \mathrm{m\,s^{-1}} ,$$

et est définie comme la vitesse de groupe du mode du réseau,

$$v_{\text{ph}} = \frac{\partial \omega}{\partial k} ,$$

la dérivée de la fréquence angulaire des phonons $\omega$ par rapport au vecteur d’onde $k$. Dans la limite acoustique $\omega \approx c_s k$, de sorte que $v_{\text{ph}} \to c_s$, la vitesse du son ; en général $v_{\text{ph}}$ varie le long de la courbe de dispersion.

Au sein de l’intégrande, $v_{\text{ph}}$ a le rôle de convertir une grandeur déposée en un flux de cette grandeur. Le produit $\Delta p\,v_{\text{ph}}$ a les dimensions d’une quantité de mouvement multipliée par une vitesse — c’est-à-dire d’un taux de transport d’énergie par interaction, $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$, soit une énergie par unité de temps emportée par le canal de transport. Multiplier par la densité de taux d’interaction $\Phi\,\sigma$ construit alors vers la puissance, et le rendement de conversion applique la fraction de perte finale. Dans le cas limite $v_{\text{ph}} \to 0$ — un mode en bord de zone, ou une excitation fortement localisée, non propagative — le canal de transport se ferme et la contribution correspondante à la sortie s’annule, reflétant correctement qu’une quantité de mouvement incapable de se déplacer ne peut être collectée. Dans la limite opposée d’un $v_{\text{ph}}$ très élevé, le transport cesse d’être le goulot d’étranglement et d’autres facteurs gouvernent la sortie. Le placement exact et les unités sont catalogués dans définitions des variables.

Dans le bilan

$v_{\text{ph}}$ emporte la quantité de mouvement dirigée produite par le facteur de transfert de quantité de mouvement, la faisant courir vers la frontière de collecte avant que la randomisation thermique ne l’efface. Elle n’opère que sur les interactions déjà sélectionnées par la section efficace de diffusion, et quelle que soit la quantité de mouvement qu’elle délivre, celle-ci est ensuite soumise aux pertes de rectification finales du rendement de conversion. Transport rapide et brisure de symétrie propre sont complémentaires : ni l’un ni l’autre ne suffit seul.

Références

• C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8e éd. (Wiley, 2005). Traitement standard de la dispersion des phonons, de la vitesse de groupe et de la limite acoustique.
• N. W. Ashcroft et N. D. Mermin, Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, 1976). Exposé fondateur de la dynamique du réseau et du transport des phonons.
• J. M. Ziman, Electrons and Phonons: The Theory of Transport Phenomena in Solids (Oxford University Press, 1960). Théorie détaillée du transport des phonons sous-jacente à $v_{\text{ph}}$.