数学的補遺

本補遺は、リファレンスの残りの部分が非形式的に依拠している三つの結果を述べ、証明する。いずれも初等的で標準的なものである。それらを明示的な証明とともにここに集めることは、枠組みの荷重を担う主張を、主張されたものではなく検証可能なものにする。これらはディープダイブで物語的に展開された三つの機構、すなわちコヒーレント増強、平衡での不可能性、そして整流に対応する。

補題1 — コヒーレント増強は N で抑えられる

言明。 $N$ 個の同一の散乱中心があり、それぞれが振幅 $a$ を寄与するとき、実効断面積は、完全にコヒーレントな（前方）方向では $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ を満たし、寄与がインコヒーレントに加わるときには $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$ を満たす。ただし $\sigma_1 \propto |a|^2$ である。したがってインコヒーレントな場合に対するコヒーレント増強因子は高々 $N$ である。

証明。 全散乱振幅は位相付きの和 $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$ である。ここで $\mathbf{q}$ は運動量移行、$\mathbf{r}_j$ は中心の位置である。断面積は $|A|^2$ に比例する。

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

前方極限 $\mathbf{q}\to 0$ ではすべての位相が1となり、二重和は $N^2$ 個の等しい項を持ち、$|A|^2 = N^2|a|^2$ となって $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$ を与える。代わりに位相がランダムで無相関であれば、非対角項は平均してゼロになり、$N$ 個の対角項が残るので、$\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ となり $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$ となる。両者の比は $N$ であり、これは位相が揃うところでのみ達成される。有限の $\mathbf{q}$ では形状因子 $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ が両者の間を補間する。$\blacksquare$

したがって増強は実在するが抑えられる。すなわち、粒子あたりの断面積を高々 $N$ 倍まで引き上げることができ、それも $F(\mathbf{q})$ が定めるコヒーレンス窓の内側でのみである。これが $N^2$ 則の背後にある定量的内容である。

補題2 — 平衡では正味電流がない

言明。 熱平衡にある系は指向性の定常電流を生み出さない：$\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$。結果として、正味の変換効率 $\eta_{\text{conv}}$ は平衡で消失し、ゼロでない出力はいずれも非平衡駆動を要する。

証明。 $P(x\to x')$ を微視的状態間の遷移率とする。温度 $T$ における詳細釣り合いは次を要求する。

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

ただし $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$ である。任意の反対称な観測量 $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ に付随する定常電流は $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$ である。(2) により括弧内は項ごとにゼロとなるので、$J=0$ である。同等に、ゆらぎ散逸定理が平衡のゆらぎスペクトルを同じ $T$ における散逸応答に固定するので、整流すべき余剰が残らない。$\blacksquare$

これが、枠組みが永久機関を記述しないという正確な意味である。すなわち、平衡では正確にゼロを返し、平衡から遠ざけて保たれた開放系についてのみ定義されるのである（開放熱力学系）。

補題3 — 指向性出力には破れた対称性が必要

言明（キュリーの原理）。 系の動力学と駆動が空間反転 $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$ のもとで不変であれば、定常の指向性電流は消失し $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$ となる。したがってゼロでない指向性電流は破れた反転対称性を要する。

証明。 $\mathcal{P}$ を空間反転とする。電流は極性ベクトルであり $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$ である。動力学の生成子（ハミルトニアンと駆動、およびそれが誘導する定常分布）が $\mathcal{P}$ と可換であれば、期待値は反転不変であり $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$ となり、したがって $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$ である。消失しない $\langle\mathbf{J}\rangle$ は $\mathcal{P}$ が対称性でない場合にのみ可能であり——系は構造的な非対称性（ラチェット）を担わねばならない。$\blacksquare$

補題2と合わせて、これは指向性出力のための二つの必要条件を与える。すなわち、破れた空間対称性（補題3）かつ非平衡駆動（補題2）である。いずれか一方だけでは十分でない——平衡にあるラチェットはなお何も生み出さない——そしてこの対こそ、$P(t)$ における整流因子が前提とするものである（確率論的整流）。

補遺が確保すること

三つの補題は、枠組みの物理的な物語の数学的な背骨である。すなわち、増強は実在するが $N$ で上限がある（補題1）、平衡は何も生み出さないので熱力学法則は破られない（補題2）、そして任意の正味の指向性出力は構造的非対称性と非平衡駆動の両方を要求する（補題3）。これらのいずれも新奇な物理ではない——散乱理論、統計力学、対称性解析からの標準的な結果である——そしてそこが肝心である。すなわち、$P(t)$ の荷重を担う段階は確定した数学に依拠し、経験的な大きさは測定に委ねられている（測定と反証可能性）。