不確かさ解析と誤差伝播

不確かさを伴わない予測は科学的言明ではない。Schubart Master Formula が $P(t)$ の数を返したとき、ただちに生じる問いは、その入力——フラックス、断面積、運動量移行、フォノン速度、効率——がそれぞれ有限の精度でしか知られていないことを踏まえて、その数がどれほど信頼できるか、である。本章では、それらの入力の不確かさが出力へどう伝播するかを導出し、公式の構造ゆえに異例なほど整った結果に到達する:$P$ は因子の積であるから、因子の相対分散は単純に加算される。その単一の事実が解析全体を組織化し、どの入力をより注意深く測定する価値があるかを一目で教える。

積構造と対数微分

伝播の目的のために、公式を正の因子の積として書く、

$$P = \prod_i x_i ,$$

ここで $x_i$ は $\Phi$、$\sigma$、$\Delta p$、$v_{\text{ph}}$、$\eta_{\text{conv}}$ の実効値、および不確かさを担ういかなる測度因子をも表す。伝播則への最も明快な道は、微分する前に対数をとることである。積の対数は和であるから、

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

微分は加法的に分離する:

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{that is}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

これは、出力の分数的変化が入力の分数的変化の和であるという厳密な言明である——乗法形式の直接の帰結であり、以下に続くすべての種である。

一次伝播:相対分散が加算される

微分を分散へ変えるため、$P$ を平均値 $\bar x_i$ のまわりで一次テイラー展開する。$\mathrm{d}x_i$ を、ゼロ平均で分散 $\sigma_{x_i}^2$ をもつ小さなランダムな偏差 $\delta x_i$ と解釈し、因子が統計的に独立であると仮定して、関係 $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ を二乗して期待値をとる。交差項 $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ は独立性のもとで $i\neq j$ について消え、対角項のみが残る:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

これが本章の中心的結果である。出力の相対不確かさの二乗は、入力の相対不確かさの二乗の和である。同等に、相対不確かさは二乗和の平方根で加算される。それは、因子がいくつあろうと、どの単位を担おうと、独立な因子の任意の積について一次で成り立つ——相対形式は無次元であるから、フラックス($\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$)と効率(無次元)はまったく同じ立場で寄与する。

支配項のふるまい

寄与が二乗和の平方根で加算されるので、それらは民主的には加わらない:最大の相対不確かさが和を支配する。ある入力が $30\%$ で知られ、他が各 $5\%$ で知られているなら、出力の不確かさはほぼ完全に $30\%$ の項によって支配される。なぜなら $0.30^2 = 0.09$ は $0.05^2 = 0.0025$ を圧倒するからである。二乗和の平方根は小さな項を二次的に抑制するので、総量は単一の最悪因子に近い:

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{when one term dominates.}$$

実践的な帰結は決定的である。すでに精密な因子を締め上げるのに費やされる努力はほとんど無駄である。見返りは、最もよく知られていない因子をよりよく測定することから来る。この枠組みにおいて通常の容疑者は、シグマ解析で論じる対称性を破る運動量移行 $\Delta p$ であり、これは典型的に最も突き止めるのが難しい量であり、したがって出力精度を定めるものである。

相関した入力:共分散項

明快な二乗和の法則は独立性を仮定する。二つの入力が相関しているとき——共通の測定、共通の較正、または真の物理的結合を共有するために——交差項はもはや消えず、伝播則は共分散の寄与を獲得する:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

補正の符号が重要である。正に相関した因子(両方がともに上へ漂う)は独立推定を超えて出力分散を膨らませる。負に相関した因子は部分的に打ち消し合い、それを低減する。したがって実在の正の相関を無視することは、誤って楽観的な誤差棒を生む——不確かさ報告における最も一般的な失敗様式の一つである。ここで関連する相関は、まさに仮定と限界における仮定Aの破綻として明記された因子結合である:積形式が飽和またはフィードバックによって脅かされるときはいつでも、共分散項がその脅威の定量的指紋である。

例示的な計算例

純粋に例示的な相対不確かさの組を考える。これは算術を示すためだけに選ばれており、いずれもいかなる系についての測定値でもない:

• フラックス $\Phi$:$10\%$、
• 断面積 $\sigma$:$15\%$、
• 運動量移行 $\Delta p$:$25\%$、
• フォノン速度 $v_{\text{ph}}$:$5\%$、
• 効率 $\eta_{\text{conv}}$:$8\%$。

独立性を仮定すると、出力の相対分散は二乗和である

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0.10^2 + 0.15^2 + 0.25^2 + 0.05^2 + 0.08^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0064 = 0.1039 ,$$

したがって

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.1039} \approx 0.32 ,$$

約 $32\%$ である。$\Delta p$ の項だけ($0.0625$)が総量の半分以上を供給する一方、$5\%$ のフォノン速度の項($0.0025$)は本質的に無視できることに注目せよ。これは支配項のふるまいを具体的にしたものである:出力精度はほぼ完全に最もよく知られていない入力によって定まる。もし断面積と運動量移行の間に、たとえば $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0.02$ の正の相関が存在すれば、追加の項 $2\times0.02 = 0.04$ が分散を $0.144$ へ、出力の不確かさを $\approx 38\%$ へ押し上げる——控えめな相関からの実質的な拡大である。ここでの数値は例示的な桁であって、主張ではない。

モンテカルロ標本抽出との関連

上の一次法則は線形化された近似であり、小さな偏差と局所的に線形な応答の極限でのみ厳密である。$P$ は正の因子の積であるから、その出力分布は一般にガウス的ではなく歪んで長い裾をもち、対称な $\pm\sigma_P$ 区間は上側の裾を過少評価する。完全な分布を捉える厳密な方法は、入力をその同時分布から標本抽出し、各抽出について公式を評価することである——モンテカルロ検証で記述される前向きモンテカルロ伝播である。その手続きは線形性の仮定を一切置かず、入力が正しい共分散構造をもつ同時分布から抽出される限り、相関を自動的に尊重する。小さな不確かさの極限では、モンテカルロの広がりは上の二乗和の法則を再現する。だからこそ両者は互いの整合性チェックとなる:解析的な法則が直観と支配項の診断を与え、標本抽出が誠実な、おそらく非対称な出力分布を与える。その分布の幅が、枠組み全体を通じて報告されるモデル整合性シグマであり、それはプレイグラウンドで対話的に探索できる。完全に計算された数値例は計算例で通して扱われ、総分散の因子間への配分——どの項をまず測定すべきか——は感度と誤差バジェットで正式な誤差バジェットとして展開される。

参考文献

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2nd ed. (University Science Books, 1997) — 積の法則と相対不確かさの二乗和加算の標準的な扱い。
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — 共分散項を含む不確かさ伝播則の権威ある言明。
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — 線形化された法則が不十分なときのモンテカルロ伝播の参考文献。