確率的整流:無指向性のノイズを指向性にする

マスター公式における運動量移行因子 $\Delta p$ は指向性をもつ量であり、それが消えないことが枠組み全体が回る要である:それがなければ被積分関数は対称であり $P(t)=0$ となる。しかし、仮定により無指向性で——一方向に押すのと同じくらい他方向にも押しやすい——環境場のゆらぎから、どうして指向性の電流が生じうるのか? その答えは整流の物理であり、ブラウニアンラチェットと分子モーターの基礎にあるのと同じ原理である。本章ではそれを注意深く展開する。なぜなら、そこは第二法則がその最も鋭い制約を課す場所でもあるからである:対称な平衡ノイズだけでは何へも整流され得ないが、駆動され空間的に非対称な系は真の指向性電流を生み出しうる。この二つのケースの区別は細部ではない。それは、正当な変換器と永久機関との境界である。

無指向性のゆらぎはゼロへ平均化される

まず無のケースから始める。なぜなら、それは対称性が無傷であるときにいつでも枠組みが回復しなければならないものだからである。入射状態 $(E,\theta)$ をもつ相互作用が、確率密度 $w(\Omega'\,|\,E,\theta)$ で、出射チャネル $\Omega'$ へ運動量キック $q(\Omega')$ を生み出すとする。収集軸に射影された、付与される平均運動量は、チャネルにわたる重み付き積分である、

$$\langle \Delta p \rangle = \int q(\Omega')\,w(\Omega'\,|\,E,\theta)\;d\Omega' .$$

いまゆらぎが対称であると仮定する:$+q$ を付与する各チャネルに対して $-q$ を付与する等確率のチャネルがあり、$w(\Omega')$ が $q \to -q$ のもとで偶であるとする。すると被積分関数 $q\,w$ は奇であり、その対称領域にわたる積分は項ごとに消え、

$$\langle \Delta p \rangle = 0 .$$

これは、無指向性のノイズが正味の運動量を担わないという数学的言明である。それはゆらぎがどれほど激しくても成り立つ:大きな対称キックは、小さなものと同じくらい確実にゼロへ平均化される。撹乱は方向と同じではなく、どれほどの撹乱もそれ自体では方向を生まない。したがって、指向性出力を主張するいかなる機構も、この対称性をどこかで破らねばならず、枠組みはそれがどこであるかを正確に特定することを要求する。

対称性を破る

整流には、ともに作用する二つの要素が必要であり、その両方が存在することが本質的である。第一は破れた空間対称性——非対称なポテンシャル、異方的な構造、反転対称性を欠く物質——であり、これが前方チャネルと後方チャネルを幾何学的に非等価にし、$w(\Omega')$ がもはや $q$ について偶でないようにする。非対称な重みを対称部分と偏りの和として書く、$w = w_{\text{s}} + w_{\text{a}}$、ここで $w_{\text{a}}$ は奇成分である。すると平均移行は

$$\langle \Delta p \rangle = \int q(\Omega')\,w_{\text{a}}(\Omega'\,|\,E,\theta)\;d\Omega' \;\neq\; 0 ,$$

となる。なぜなら、奇の $q$ に対しては $w$ の奇の部分のみが生き残るからである。$\Delta p$ の大きさは、この非対称成分 $w_{\text{a}}$ の大きさによって完全に定まる。ほぼ対称な装置は、予期されるとおり、ほぼ消える指向性移行を与える。これは、構造的あるいは物質的な非対称性が方向を「供給する」という正確な意味である:それは出射分布を傾け、奇のモーメントがもはや打ち消し合わないようにする。これらの散乱重みと物理的結合との関連は、$\sigma(E)$ を定めるのと同じものである。微視的な収支は運動量移行に、より広い対称性の議論は非平衡エネルギー変換に示されている。

なぜ非対称性だけでは不十分か:第二法則

ここで枠組みは素朴な描像と袂を分かつ。これは本章の最も重要な単一の論点である。破れた空間対称性は必要であるが十分ではない。熱平衡にあるラチェットと爪の装置——構造は非対称でありながら単一温度のノイズに浸されている——は、正味の仕事を一切取り出さない。なぜなら、爪自体の熱的ゆらぎが、ちょうどラチェット作用を打ち負かすのに足るだけ頻繁に爪を解放するからである。これはファインマンの有名な解析である:平衡においては非対称な装置は前方に回るのと同じくらい後方に回り、明白な空間的非対称性にもかかわらず指向性電流は消える。その理由は第二法則である。外部駆動のない単一温度の系では、幾何が非対称であっても詳細つり合いが前方と逆方向の率を等しさへと強制し、真に指向性の電流は平衡ゆらぎからの禁じられた仕事の取り出しを構成することになる。

その解決は、第二の要素——非平衡駆動——もまた存在しなければならない、というものである。ゆらぎは平衡から押しやられねばならない:二つの熱源の間の温度差によって、真に非熱的な(スペクトル的に傾いた)入力によって、外部の時間依存強制によって、あるいは詳細つり合いを破るいかなる源によっても。ノイズが平衡から外れたときにのみ、非対称構造は整流すべき何かを獲得する。記号的には、指向性電流が非ゼロであるのは、二つの条件がともに成り立つときのみである:

$$\langle \Delta p \rangle \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \underbrace{w_{\text{a}} \neq 0}_{\text{broken symmetry}} \;\;\text{and}\;\; \underbrace{\text{noise out of equilibrium}}_{\text{drive breaks detailed balance}} .$$

どちらを取り除いても電流は死ぬ。この二重の要件は、ゆらぎ–散逸境界を作動可能にしたものである:それは、環境平衡ノイズから自由エネルギーを主張することに対する枠組みの組み込みの防御である。

ゆらぎ–散逸境界

ファインマンのラチェットの背後にあるより深い言明は、ゆらぎ–散逸定理である。これは平衡ゆらぎのスペクトルを、同じ温度における系の散逸的応答に厳密に結びつける。平衡においては、ゆらぎと散逸は一枚のコインの両面であり、そのつり合いこそが正味の仕事の取り出しを禁じる——ゆらぎが駆動しうるいかなる電流も、それが縛られている散逸によってちょうど打ち消される。変換器は、この平衡関係の外で生きることによってのみ作動する:駆動がゆらぎスペクトルを平衡形から押しやるとき、ゆらぎ–散逸の錠が破られ、散逸だけが維持するであろうものを超える過剰なゆらぎが、ラチェットが整流しうる指向性輸送の貯蔵庫となる。したがって指向性出力は、平衡からの逸脱の度合いによって上限を与えられるのであって、ゆらぎの生の大きさによってではない。枠組みの言葉では、$\Delta p$ はゆらぎ–散逸平衡からの距離の尺度として読むのが最善である:ノイズが平衡ノイズであるときはゼロであり、それを変位させる駆動とともに増大する。これを誠実に保つ熱力学的収支——エントロピー排出、1を下回る効率の天井——は変換効率で、熱源の描像は非平衡エネルギー変換で展開される。

マスター公式における Δp の読み方

次へ戻ると、

$$P(t) = \iint \Phi(E,\theta,t)\,\sigma(E)\,\Delta p\,v_{\text{ph}}\,\eta_{\text{conv}}\;dE\,d\theta ,$$

整流の解析は $\Delta p$ 因子の解釈を精密に定める。それは運動量キックの典型的な大きさ——対称なゆらぎがそれを無関係にしてしまう——ではない。それは、対称部分がゼロへ平均化された後に生き残る、相互作用あたりの正味の、整流された運動量である。$\Delta p$ に生のキックの大きさを挿入するモデルは、打ち消しを無視して出力を過大評価する。正しい扱いは、奇の、駆動選択された残渣のみを挿入する。したがって枠組みは、ラチェット物理の約束と禁止の双方を単一の因子に符号化する:$\Delta p$ は非ゼロになりうるので連続的な変換を許すが、それは破れた空間対称性と真の非平衡駆動の両方が存在し特定されたときに限る。どちらかを欠けば、モデルは $\Delta p \to 0$ を仮定し、公式は第二法則に自動的に従って、正しく出力なしを返す。提案された変換器が実際に両方の条件を満たすかどうかは、枠組みが提起するが答えない経験的な問いである。それは未解決の科学的な問いのうちに属し、主張されるいかなる $\Delta p$ も、仮定されるのではなく正当化されねばならない。

参考文献

• Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, ch. 46 (“Ratchet and pawl”). Addison-Wesley — 非対称な装置が平衡では仕事を取り出さないことの決定的な実証。
• Reimann, P. (2002). “Brownian motors: noisy transport far from equilibrium.” Physics Reports 361, 57–265. DOI: 10.1016/S0370-1573(01)00081-3 — 破れた対称性と非平衡駆動のもとでゆらぎを整流することの包括的な理論。
• Callen, H. B., & Welton, T. A. (1951). “Irreversibility and Generalized Noise.” Physical Review 83, 34–40. DOI: 10.1103/PhysRev.83.34 — ゆらぎ–散逸定理。
• van Kampen, N. G. (2007). Stochastic Processes in Physics and Chemistry (3rd ed.). North-Holland — 詳細つり合いと、指向性電流が現れる条件。