Analyse d'incertitude et propagation des erreurs

Une prédiction sans incertitude n’est pas un énoncé scientifique. Une fois que la Schubart Master Formula renvoie un nombre pour $P(t)$, la question immédiate est de savoir à quel point ce nombre peut être cru, étant donné que ses entrées — le flux, la section efficace, le transfert de quantité de mouvement, la vitesse des phonons, le rendement — ne sont chacune connues qu’avec une précision finie. Ce chapitre dérive comment ces incertitudes d’entrée se propagent à la sortie, et il aboutit à un résultat exceptionnellement net à cause de la structure de la formule : puisque $P$ est un produit de facteurs, les variances relatives des facteurs s’additionnent simplement. Ce seul fait organise toute l’analyse et nous dit d’un coup d’œil quelle entrée vaut la peine d’être mesurée plus soigneusement.

La structure produit et la différentielle logarithmique

Écrivons la formule, aux fins de la propagation, comme un produit de facteurs positifs,

$$P = \prod_i x_i ,$$

où les $x_i$ représentent les valeurs effectives de $\Phi$, $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$, $\eta_{\text{conv}}$ et tout facteur de mesure portant de l’incertitude. La route la plus propre vers la loi de propagation est de prendre le logarithme avant de dériver. Parce que le logarithme d’un produit est une somme,

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

la différentielle se sépare additivement :

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{that is}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

C’est l’énoncé exact qu’une variation fractionnaire de la sortie est la somme des variations fractionnaires des entrées — une conséquence directe de la forme multiplicative, et la semence de tout ce qui suit.

Propagation au premier ordre : les variances relatives s’additionnent

Pour transformer la différentielle en variance, on prend le développement de Taylor au premier ordre de $P$ autour des valeurs moyennes $\bar x_i$. En interprétant $\mathrm{d}x_i$ comme un petit écart aléatoire $\delta x_i$ de moyenne nulle et de variance $\sigma_{x_i}^2$, et en supposant les facteurs statistiquement indépendants, on élève au carré la relation $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ et on prend les espérances. Les termes croisés $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ s’annulent pour $i\neq j$ sous l’indépendance, ne laissant que la diagonale :

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

C’est le résultat central du chapitre. L’incertitude relative au carré de la sortie est la somme des incertitudes relatives au carré des entrées. De façon équivalente, les incertitudes relatives s’additionnent en quadrature. Cela tient au premier ordre pour tout produit de facteurs indépendants, quel que soit leur nombre ou les unités qu’ils portent — la forme relative est sans dimension, de sorte que le flux (en $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$) et le rendement (sans dimension) contribuent exactement sur le même pied.

Comportement à terme dominant

Parce que les contributions s’additionnent en quadrature, elles ne s’additionnent pas démocratiquement : la plus grande incertitude relative domine la somme. Si une entrée est connue à $30\%$ et les autres à $5\%$ chacune, l’incertitude de sortie est gouvernée presque entièrement par le terme à $30\%$, puisque $0.30^2 = 0.09$ écrase $0.05^2 = 0.0025$. La quadrature supprime les petits termes quadratiquement, de sorte que le total est proche du seul pire facteur :

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{when one term dominates.}$$

La conséquence pratique est décisive. L’effort dépensé à resserrer un facteur déjà précis est presque gaspillé ; le rendement vient de mesurer mieux le facteur le moins bien connu. Dans ce cadre, le suspect habituel est le transfert de quantité de mouvement $\Delta p$ brisant la symétrie, discuté dans l’analyse sigma, qui est typiquement la grandeur la plus difficile à cerner et donc celle qui fixe la précision de la sortie.

Entrées corrélées : les termes de covariance

La loi de quadrature propre suppose l’indépendance. Lorsque deux entrées sont corrélées — parce qu’elles partagent une mesure commune, un étalonnage commun, ou un couplage physique véritable — les termes croisés ne s’annulent plus, et la loi de propagation acquiert des contributions de covariance :

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

Le signe de la correction importe. Des facteurs positivement corrélés (qui dérivent vers le haut ensemble) gonflent la variance de sortie au-delà de l’estimation indépendante ; des facteurs négativement corrélés s’annulent partiellement et la réduisent. Ignorer une corrélation positive réelle produit donc une barre d’erreur faussement optimiste — l’un des modes d’échec les plus courants dans le rapport d’incertitude. Les corrélations pertinentes ici sont exactement les couplages de facteurs signalés comme ruptures de l’Hypothèse A dans les hypothèses et limites : chaque fois que la forme produit est menacée par saturation ou rétroaction, les termes de covariance sont l’empreinte quantitative de cette menace.

Exemple travaillé illustratif

Considérons un ensemble purement illustratif d’incertitudes relatives, choisi seulement pour montrer l’arithmétique — aucune n’est une valeur mesurée pour un quelconque système :

• flux $\Phi$ : $10\%$,
• section efficace $\sigma$ : $15\%$,
• transfert de quantité de mouvement $\Delta p$ : $25\%$,
• vitesse des phonons $v_{\text{ph}}$ : $5\%$,
• rendement $\eta_{\text{conv}}$ : $8\%$.

En supposant l’indépendance, la variance relative de sortie est la somme en quadrature

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0.10^2 + 0.15^2 + 0.25^2 + 0.05^2 + 0.08^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0064 = 0.1039 ,$$

de sorte que

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.1039} \approx 0.32 ,$$

soit environ $32\%$. Remarquez comment le terme $\Delta p$ seul ($0.0625$) fournit plus de la moitié du total, tandis que le terme de vitesse des phonons à $5\%$ ($0.0025$) est essentiellement négligeable. C’est le comportement à terme dominant rendu concret : la précision de sortie est fixée presque entièrement par l’entrée la moins connue. Si une corrélation positive de, disons, $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0.02$ existait entre la section efficace et le transfert de quantité de mouvement, le terme supplémentaire $2\times0.02 = 0.04$ pousserait la variance à $0.144$ et l’incertitude de sortie à $\approx 38\%$ — un élargissement substantiel à partir d’une corrélation modeste. Les nombres ici sont des ordres de grandeur illustratifs, non des affirmations.

Connexion à l’échantillonnage Monte Carlo

La loi au premier ordre ci-dessus est une approximation linéarisée, exacte seulement dans la limite de petits écarts et d’une réponse localement linéaire. Parce que $P$ est un produit de facteurs positifs, sa distribution de sortie est généralement asymétrique et à longue queue plutôt que gaussienne, et un intervalle symétrique $\pm\sigma_P$ sous-estime la queue supérieure. La façon rigoureuse de capturer la distribution complète est d’échantillonner les entrées depuis leur distribution conjointe et d’évaluer la formule pour chaque tirage — la propagation Monte Carlo directe décrite dans la validation Monte Carlo. Cette procédure ne fait aucune hypothèse de linéarité et respecte les corrélations automatiquement, pourvu que les entrées soient tirées d’une distribution conjointe à la bonne structure de covariance. Dans la limite de petite incertitude, la dispersion Monte Carlo reproduit la loi de quadrature ci-dessus, ce qui est pourquoi les deux sont des vérifications cohérentes l’une de l’autre : la loi analytique donne l’intuition et le diagnostic à terme dominant, tandis que l’échantillonnage donne la distribution de sortie honnête, possiblement asymétrique. La largeur de cette distribution est le sigma de cohérence de modèle rapporté partout dans le cadre, et il peut être exploré interactivement dans le bac à sable. Une instance numérique pleinement travaillée est menée jusqu’au bout dans l’exemple travaillé, et la répartition de la variance totale entre facteurs — quel terme mesurer en premier — est développée comme un budget d’erreur formel dans sensibilité et budget d’erreur.

Pour aller plus loin

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2e éd. (University Science Books, 1997) — le traitement standard de la règle du produit et de l’addition en quadrature des incertitudes relatives.
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — l’énoncé de référence de la loi de propagation de l’incertitude, y compris les termes de covariance.
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — la référence pour la propagation Monte Carlo lorsque la loi linéarisée est inadéquate.