系の境界

あらゆるエネルギー収支は境界についての言明である。量 $P(t)$ は特定の制御面を横切って供給される出力として定義されており、その面が描かれるまで明確な意味をもたない。本章では、Schubart Master Formula において系の境界がどのように定義されるか、何がそれを横切るか、そして収支が誠実であるためになぜ注意深い境界の描き方が不可欠かを規定する。枠組みは、開放熱力学系で定めるとおり、熱源とエネルギーおよび運動量を交換する開放系に適用されるので、境界はその交換が測定される場所である。

制御面

制御面は、変換器の体積 $V$ を囲む閉じた幾何学的面 $\partial V$ である。内側のすべては系として扱われ、外側のすべては熱源と負荷である。面には二種類の量が結びつけられる。第一に内向きのフラックス:面を外側から横切る環境放射 $\Phi(E,\theta,t)$ は、エネルギーと運動量を系へ運び込む。第二に外向きの利用可能な出力:$P(t)$ は面を横切って外部負荷へ向かって系を去る。マスター公式は第一のものから第二のものを計算し、すべての内部過程——結合、運動量移行、輸送、整流——を被積分関数へ畳み込む。面を描くことは、どのフラックスが入射と数えられ、どの出力が供給と数えられるかを正確に定める。

収支は、境界に準拠した性格を明示的にするため、面積分として書くことができる。$\mathbf{S}(\mathbf{r},t)$ を局所的なエネルギー流密度、$\hat{\mathbf{n}}$ を外向きの法線とすると、$\partial V$ を横切るエネルギー交換の正味の率は

$$\oint_{\partial V} \mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{n}}\;dA = -P_{\text{in}}(t) + P(t) + P_{\text{loss}}(t) ,$$

ここで $\partial V$ の照射された部分にわたる $\mathbf{S}$ の内向き部分が入射フラックス $\Phi$ を再構成し、外向き部分が利用可能な出力と損失を運び去る。準定常領域では $V$ の内側に蓄えられたエネルギーは定常であるから、面積分は消え、模式的な収支 $P(t) = P_{\text{in}}(t) - P_{\text{loss}}(t)$ が直接に従う。面積分の形の美点は、「供給される出力」を漠然とした領域ではなく特定の閉じた面の性質にすることである——マスター公式のすべての量は、結局のところ $\partial V$ を通るフラックスである。

何が境界を横切るか

適切に描かれた境界を三つの異なる流れが横切り、それらを別々に保つことが二重計上を防ぐ。第一は、$\Phi$ で表される、系へ入る入射環境フラックスである。第二は、負荷へ向かって系を去る利用可能な電気出力であり、これが $P(t)$ そのものである。第三は、同じく系を去るが有用でない損失フラックス——熱と整流されなかったエネルギー——である。枠組みは第三のものを暗黙に計上する:変換効率 $\eta_{\text{conv}}$ は、まさに結合され指向性をもつエネルギーのうち、損失としてではなく利用可能な出力として去る割合である。したがって境界収支は次のように読める:入射する整流可能なエネルギーが入り、利用可能な出力に損失を足したものが出て、$\eta_{\text{conv}}$ が二つを分配する。これは、先に導入した模式的な収支 $P(t) = P_{\text{in}}(t) - P_{\text{loss}}(t)$ の具体的で境界に準拠した版である。

なぜ境界は明示的でなければならないか

エネルギーハーベスティングの主張における混乱のよくある源は、暗黙のまたは移動する境界である。入射フラックスがある面で測定され、供給出力が別の面で測定されるなら、二つは比較可能ではなく、整合しない計上の単なる産物にすぎない見かけの利得や損失が現れうる。枠組みは、内向きフラックスと外向き出力の双方に対して単一の固定された制御面を要求することで、これを防ぐ。特に、被積分関数中のフラックス $\Phi$ は、選ばれた面を実際に横切るフラックスでなければならない——遠方のフラックスでもなく、装置内部ですでに部分的に減衰した後のフラックスでもない、面がそれに応じて置かれている場合を除いては。面を一度固定すればこの曖昧さが取り除かれ、報告される $P(t)$ が再現可能になる。

例示的な例が、移動する境界がいかに偽りの結果を製造するかを示す。スラブ型の変換器が、深さ $d$ にわたって入射フラックスを因子 $e^{-\mu d}$ だけ減衰させるとする。ここで $\mu$ は実効減衰係数である。「入力」面を前面(フラックスが $\Phi_0$ である)に置きながら、相互作用率を内部深く(フラックスが $\Phi_0 e^{-\mu d}$ である)のフラックスから計算すると、二つの数値は減衰因子全体だけ異なる。純粋に例示のため $\mu d \sim 1$ をとると、不一致は因子 $e \approx 2.7$ となる——1を優に上回る見かけの効率をでっち上げたり、実際の損失を隠したりするのに十分である。治療法はより良い数値ではなく、整合的に置かれた面である:どの面が選ばれようと、$\Phi$ と $P(t)$ の双方がそれに準拠しなければならない。だからこそ枠組みは境界の配置を、後知恵としてではなく $P(t)$ の定義の一部として扱う。

熱源の側

境界の外側には環境熱源が座っている。枠組みはそれを、関心のある時間スケールにわたってハーベスティングがそれを目立って枯渇させないほど十分に大きいものとして扱う。そのため $\Phi$ は、系へ結合して戻る動的変数としてではなく、外部から課された境界条件とみなすことができる。これは開放系熱力学の標準的な熱源仮定であり、フラックスを変換器とは独立に指定できるようにするものである。この仮定が破れうる場合——たとえば変換器が自身の供給を遮るほど大きい場合——境界条件は自己整合的に解かれねばならないが、そのようなケースは枠組みの基本形の外にあり、拡張として扱われることになる。

熱源仮定には定量的な妥当性条件を与えることができる。熱源が、変換器から見える領域へ率 $\dot{E}_{\text{res}}$ で整流可能なエネルギーを供給し、変換器が率 $P_{\text{in}}$ で抽出するとする。フラックスを摂動されない境界条件として扱えるのは、

$$P_{\text{in}} \ll \dot{E}_{\text{res}} ,$$

のとき、すなわち抽出が局所的熱源に対する無視できる摂動であるときである。ほとんどの環境場についてこれは桁違いの余裕で成り立つ。なぜなら、熱源はいかなる実験室スケールの変換器と比べても実質的に無限だからである。変換器を存在させて測定するフラックスは、優れた近似で、それが不在のときにそこにあるであろうフラックスである。この仮定は明示的に述べる価値がある。なぜなら、それは開放系としての読みの全体がそこに掛かっている蝶番だからである:それは $\Phi$ を、共に解かれるべき未知数ではなく入力たらしめるものであり、それを侵すであろう提案された変換器は、代わりにより精巧な自己整合の機構で解析されねばならない。

面をどこに描くかの選択

整合的に適用されるいかなる面も許容されるが、ある選択は他よりはるかに便利であり、枠組みは配置について指針を提供する。自然な面は、入射フラックスが最も明快に定義され最も容易に測定される場所——典型的には物理的な変換器のすぐ外側、装置による減衰や再成形の前の、乱されていない環境場——である。そこに面を置くことは $\Phi$ を真の環境フラックスに等しくし、すべての内部減衰を、それが属する被積分関数へ畳み込む。代わりに装置内部のどこかに置くと、すでに変形された内部フラックスを追跡せざるを得ず、それは測定がより難しく誤りやすい。第二の考慮は、面がすべての整流および散逸の機構を囲むべきである、ということである。そうすれば $\eta_{\text{conv}}$ がすべての内部損失を真に計上する。変換器の真ん中を切り抜ける面は、ある損失を未計上のまま残し、他を二重計上してしまうだろう。したがって一般規則はこうである:清浄な環境場のうちに、装置とその直近の損失チャネルを完全に囲むように面を描き、$\Phi$ と $P(t)$ の双方を例外なくそれに準拠させよ。

負荷の側と「利用可能」の意味

境界の外側にあるもう一つのものは負荷である。$P(t)$ の定義における利用可能という語は、この負荷に対して相対的に定義される:利用可能な出力とは、内部に閉じ込められたり熱として散逸されたりしたエネルギーとは対照的に、外部回路が受け入れうる形で供給される出力である。定義が負荷に準拠しているので、同じ変換器が原理的に異なる負荷へ異なる利用可能出力を報告しうる。したがって $P(t)$ の完全な指定は、制御面とともに負荷条件を名指しする。これは枠組みの弱点ではなく、物理的実在の反映である:供給される出力は常に、それが何へ供給されるかに依存する。

運動量も境界を横切る

制御面を横切る保存量はエネルギーだけではない。運動量もそれを横切り、これが枠組みの非平衡的内容にとって本質的である。入射フラックスは運動量を内向きに運び、その運動量の指向性成分——平均化を生き延びる部分——が、被積分関数中の項 $\Delta p$ が定量化するものである。したがって完全な境界収支は、エネルギー流とともに運動量流を追跡する。定常運転において、格子へ供給される正味の運動量は、利用可能な電流を生む指向性輸送へ整流されるか、最終的に熱として現れる反跳として散逸されるかのいずれかである。単にエネルギーではなく運動量が面を横切ることを認識することが、この枠組みを純粋に熱量測定的なエネルギー収支から区別する:対称性の破れについての情報、したがって正味の出力がそもそも供給されうるかどうかについての情報を担うのは、境界を横切る指向性運動量フラックスである。入射運動量の方向を顧みずに描かれた境界は、出力の符号と大きさを決めるまさにその量を見逃すだろう。

まとめ

境界は収支全体の錨である。それは、どのフラックスが入射し、どの出力が供給され、どこから熱源と負荷が始まるかを定める。面が明示的に描かれ固定されて保たれれば、マスター公式——その構造は数学的構造で詳述される——は、「環境からのエネルギー」についての漠然とした主張ではなく、特定の再現可能な系についての適切な言明となる。境界が固定された後に従う支配関係は支配関係に集められ、枠組みが提起する未解決の問いは科学的な問いに示されている。

参考文献

• Y. A. Çengel and M. A. Boles, Thermodynamics: An Engineering Approach, 8th ed. (McGraw-Hill, 2015). 制御体積と開放系エネルギー収支の明快な扱い。
• S. R. de Groot and P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics (North-Holland, 1962; Dover reprint 1984). 開放系の局所収支則と面フラックス積分。
• R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd ed. (Wiley, 2002). 制御面を通るフラックスと発散形の収支の基礎的な記述。
• H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 2nd ed. (Wiley, 1985). 熱源仮定と負荷へ供給される仕事の意味。