Apêndice Matemático

Este apêndice enuncia e demonstra três resultados em que o restante da referência se apoia informalmente. Cada um é elementar e padrão; reuni-los aqui, com demonstrações explícitas, torna as alegações estruturais do arcabouço verificáveis em vez de apenas afirmadas. Eles correspondem aos três mecanismos desenvolvidos narrativamente nos aprofundamentos: reforço coerente, o impedimento no equilíbrio e a retificação.

Lema 1 — O reforço coerente é limitado por N

Enunciado. Para $N$ centros de espalhamento idênticos, cada um contribuindo com amplitude $a$, a seção de choque efetiva satisfaz $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ na direção totalmente coerente (para a frente) e $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$ quando as contribuições se somam incoerentemente, onde $\sigma_1 \propto |a|^2$. O fator de reforço coerente sobre o caso incoerente é, portanto, no máximo $N$.

Demonstração. A amplitude total de espalhamento é a soma defasada $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$, onde $\mathbf{q}$ é a transferência de momento e $\mathbf{r}_j$ as posições dos centros. A seção de choque é proporcional a $|A|^2$:

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

No limite para a frente $\mathbf{q}\to 0$ toda fase é unitária, a soma dupla tem $N^2$ termos iguais, e $|A|^2 = N^2|a|^2$, dando $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$. Se, em vez disso, as fases forem aleatórias e não correlacionadas, os termos fora da diagonal têm média nula, deixando os $N$ termos diagonais, de modo que $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ e $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$. A razão entre os dois é $N$, atingida apenas onde as fases se alinham; em $\mathbf{q}$ finito um fator de forma $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ interpola entre eles. $\blacksquare$

O reforço é, portanto, real mas limitado: ele pode elevar uma seção de choque por partícula por até um fator $N$, e apenas dentro da janela de coerência fixada por $F(\mathbf{q})$. Este é o conteúdo quantitativo por trás da lei $N^2$.

Lema 2 — Sem corrente líquida no equilíbrio

Enunciado. Um sistema em equilíbrio térmico não produz corrente estacionária direcionada: $\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$. Em consequência, a eficiência de conversão líquida $\eta_{\text{conv}}$ se anula no equilíbrio, e qualquer saída não nula requer um acionamento de não equilíbrio.

Demonstração. Seja $P(x\to x')$ a taxa de transição entre microestados. O balanço detalhado à temperatura $T$ exige

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

com $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$. A corrente estacionária associada a qualquer observável antissimétrico $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ é $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$. Por (2) o colchete é nulo termo a termo, de modo que $J=0$. De maneira equivalente, o teorema da flutuação–dissipação fixa o espectro de flutuação de equilíbrio à resposta dissipativa à mesma $T$, não deixando excedente para retificar. $\blacksquare$

Este é o sentido preciso em que o arcabouço não descreve uma máquina de movimento perpétuo: no equilíbrio ele retorna exatamente zero, e é definido apenas para sistemas abertos mantidos afastados do equilíbrio (sistemas termodinâmicos abertos).

Lema 3 — Saída direcionada requer simetria quebrada

Enunciado (princípio de Curie). Se a dinâmica e o acionamento de um sistema são invariantes sob inversão espacial $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$, então a corrente direcionada estacionária se anula, $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Uma corrente direcionada não nula requer, portanto, simetria de inversão quebrada.

Demonstração. Seja $\mathcal{P}$ a inversão espacial. A corrente é um vetor polar, $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$. Se o gerador da dinâmica (hamiltoniano mais acionamento, e a distribuição estacionária que ele induz) comuta com $\mathcal{P}$, então o valor esperado é invariante por inversão, $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$, de onde $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Um $\langle\mathbf{J}\rangle$ não nulo só é possível se $\mathcal{P}$ não for uma simetria — o sistema deve carregar uma assimetria estrutural (uma catraca). $\blacksquare$

Juntamente com o Lema 2, isto fornece as duas condições necessárias para a saída direcionada: uma simetria espacial quebrada (Lema 3) e um acionamento de não equilíbrio (Lema 2). Nenhuma delas sozinha basta — uma catraca em equilíbrio ainda não produz nada — e esse par é exatamente o que o fator de retificação em $P(t)$ pressupõe (retificação estocástica).

O que o apêndice assegura

Os três lemas são a espinha dorsal matemática da narrativa física do arcabouço: o reforço é real mas limitado a $N$ (Lema 1); o equilíbrio não produz nada, de modo que nenhuma lei termodinâmica é violada (Lema 2); e qualquer saída direcionada líquida exige tanto uma assimetria estrutural quanto um acionamento de não equilíbrio (Lema 3). Nenhum destes é física nova — são resultados padrão da teoria de espalhamento, da mecânica estatística e da análise de simetria — e esse é o ponto: os passos estruturais de $P(t)$ repousam sobre matemática consolidada, com as magnitudes empíricas deixadas para a medição (medição e falseabilidade).