Математическое приложение

Это приложение формулирует и доказывает три результата, на которые остальной справочник опирается неформально. Каждый из них элементарен и стандартен; собирая их здесь, с явными доказательствами, мы делаем несущие утверждения концепции проверяемыми, а не постулированными. Они соответствуют трём механизмам, развитым повествовательно в углублённых разборах: когерентному усилению, равновесному запрету и выпрямлению.

Лемма 1 — Когерентное усиление ограничено N

Утверждение. Для $N$ одинаковых рассеивающих центров, каждый из которых вносит амплитуду $a$, эффективное сечение удовлетворяет $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ в полностью когерентном (прямом) направлении и $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$, когда вклады складываются некогерентно, где $\sigma_1 \propto |a|^2$. Поэтому коэффициент когерентного усиления по сравнению с некогерентным случаем составляет самое большее $N$.

Доказательство. Полная амплитуда рассеяния есть фазированная сумма $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$, где $\mathbf{q}$ — переданный импульс, а $\mathbf{r}_j$ — положения центров. Сечение пропорционально $|A|^2$:

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

В прямом пределе $\mathbf{q}\to 0$ каждая фаза равна единице, двойная сумма имеет $N^2$ равных членов, и $|A|^2 = N^2|a|^2$, что даёт $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$. Если же фазы случайны и некоррелированы, недиагональные члены усредняются в нуль, оставляя $N$ диагональных членов, так что $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ и $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$. Отношение этих двух равно $N$ и достигается только там, где фазы выстроены; при конечном $\mathbf{q}$ форм-фактор $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ интерполирует между ними. $\blacksquare$

Таким образом усиление реально, но ограничено: оно может поднять сечение на одну частицу вплоть до множителя $N$, и только внутри окна когерентности, задаваемого $F(\mathbf{q})$. Это количественное содержание, стоящее за законом $N^2$.

Лемма 2 — Нет чистого тока в равновесии

Утверждение. Система в тепловом равновесии не производит направленного установившегося тока: $\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$. Следовательно, чистая эффективность преобразования $\eta_{\text{conv}}$ обращается в нуль в равновесии, и любой ненулевой выход требует неравновесного воздействия.

Доказательство. Пусть $P(x\to x')$ — скорость перехода между микросостояниями. Детальный баланс при температуре $T$ требует

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

с $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$. Установившийся ток, связанный с любой антисимметричной наблюдаемой $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$, есть $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$. По (2) скобка равна нулю почленно, так что $J=0$. Эквивалентно, флуктуационно-диссипационная теорема фиксирует равновесный спектр флуктуаций к диссипативному отклику при той же $T$, не оставляя избытка для выпрямления. $\blacksquare$

Это точный смысл, в котором концепция не описывает вечный двигатель: в равновесии она возвращает ровно нуль и определена только для открытых систем, удерживаемых вдали от равновесия (открытые термодинамические системы).

Лемма 3 — Направленный выход требует нарушенной симметрии

Утверждение (принцип Кюри). Если динамика и воздействие системы инвариантны относительно пространственной инверсии $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$, то установившийся направленный ток обращается в нуль, $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Поэтому ненулевой направленный ток требует нарушенной инверсионной симметрии.

Доказательство. Пусть $\mathcal{P}$ обозначает пространственную инверсию. Ток является полярным вектором, $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$. Если генератор динамики (гамильтониан плюс воздействие и порождаемое им стационарное распределение) коммутирует с $\mathcal{P}$, то математическое ожидание инверсионно-инвариантно, $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$, откуда $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Ненулевой $\langle\mathbf{J}\rangle$ возможен только если $\mathcal{P}$ не является симметрией — система должна нести структурную асимметрию (храповик). $\blacksquare$

Вместе с Леммой 2 это даёт два необходимых условия для направленного выхода: нарушенную пространственную симметрию (Лемма 3) и неравновесное воздействие (Лемма 2). Ни одно из них по отдельности недостаточно — храповик в равновесии всё равно ничего не даёт — и именно эту пару предполагает множитель выпрямления в $P(t)$ (стохастическое выпрямление).

Что обеспечивает приложение

Три леммы — математический хребет физической истории концепции: усиление реально, но ограничено $N$ (Лемма 1); равновесие ничего не даёт, так что ни один термодинамический закон не нарушается (Лемма 2); и любой чистый направленный выход требует и структурной асимметрии, и неравновесного воздействия (Лемма 3). Ни одна из них не является новой физикой — это стандартные результаты теории рассеяния, статистической механики и анализа симметрии — и в этом суть: несущие шаги $P(t)$ опираются на устоявшуюся математику, а эмпирические величины оставлены измерению (измерение и фальсифицируемость).