Annexe mathématique

Cette annexe énonce et démontre trois résultats sur lesquels le reste de la référence s’appuie de façon informelle. Chacun est élémentaire et standard ; les rassembler ici, avec des démonstrations explicites, rend les affirmations porteuses du cadre vérifiables plutôt que simplement asserties. Ils correspondent aux trois mécanismes développés de façon narrative dans les analyses approfondies : l’amplification cohérente, l’interdiction à l’équilibre, et la rectification.

Lemme 1 — L’amplification cohérente est bornée par N

Énoncé. Pour $N$ centres diffuseurs identiques, chacun contribuant une amplitude $a$, la section efficace effective satisfait $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ dans la direction entièrement cohérente (vers l’avant) et $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$ lorsque les contributions s’ajoutent de façon incohérente, où $\sigma_1 \propto |a|^2$. Le facteur d’amplification cohérente par rapport au cas incohérent est donc au plus $N$.

Démonstration. L’amplitude de diffusion totale est la somme déphasée $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$, où $\mathbf{q}$ est le transfert de quantité de mouvement et $\mathbf{r}_j$ les positions des centres. La section efficace est proportionnelle à $|A|^2$ :

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

Dans la limite vers l’avant $\mathbf{q}\to 0$ chaque phase vaut l’unité, la double somme compte $N^2$ termes égaux, et $|A|^2 = N^2|a|^2$, d’où $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$. Si au contraire les phases sont aléatoires et non corrélées, les termes hors diagonale se moyennent à zéro, ne laissant que les $N$ termes diagonaux, de sorte que $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ et $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$. Le rapport des deux est $N$, atteint seulement là où les phases s’alignent ; à $\mathbf{q}$ fini, un facteur de forme $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ interpole entre les deux. $\blacksquare$

L’amplification est ainsi réelle mais bornée : elle peut relever une section efficace par particule d’un facteur allant jusqu’à $N$, et seulement à l’intérieur de la fenêtre de cohérence fixée par $F(\mathbf{q})$. C’est le contenu quantitatif qui sous-tend la loi en $N^2$.

Lemme 2 — Aucun courant net à l’équilibre

Énoncé. Un système en équilibre thermique ne produit aucun courant stationnaire dirigé : $\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$. Par conséquent le rendement de conversion net $\eta_{\text{conv}}$ s’annule à l’équilibre, et toute sortie non nulle requiert un entraînement hors d’équilibre.

Démonstration. Soit $P(x\to x')$ le taux de transition entre micro-états. Le bilan détaillé à la température $T$ exige

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

avec $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$. Le courant stationnaire associé à toute observable antisymétrique $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ est $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$. Par (2) le crochet est nul terme à terme, donc $J=0$. De façon équivalente, le théorème de fluctuation–dissipation fixe le spectre de fluctuation à l’équilibre à la réponse dissipative à la même $T$, ne laissant aucun surplus à rectifier. $\blacksquare$

C’est le sens précis dans lequel le cadre ne décrit pas une machine à mouvement perpétuel : à l’équilibre il renvoie exactement zéro, et il n’est défini que pour les systèmes ouverts maintenus hors d’équilibre (systèmes thermodynamiques ouverts).

Lemme 3 — Une sortie dirigée requiert une symétrie brisée

Énoncé (principe de Curie). Si la dynamique et l’entraînement d’un système sont invariants sous l’inversion spatiale $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$, alors le courant dirigé stationnaire s’annule, $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Un courant dirigé non nul requiert donc une symétrie d’inversion brisée.

Démonstration. Soit $\mathcal{P}$ l’inversion spatiale. Le courant est un vecteur polaire, $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$. Si le générateur de la dynamique (hamiltonien plus entraînement, et la distribution stationnaire qu’il induit) commute avec $\mathcal{P}$, alors l’espérance est invariante par inversion, $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$, d’où $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Un $\langle\mathbf{J}\rangle$ non nul n’est possible que si $\mathcal{P}$ n’est pas une symétrie — le système doit porter une asymétrie structurelle (un rochet). $\blacksquare$

Avec le lemme 2, cela donne les deux conditions nécessaires à une sortie dirigée : une symétrie spatiale brisée (lemme 3) et un entraînement hors d’équilibre (lemme 2). Aucune seule ne suffit — un rochet à l’équilibre ne donne toujours rien — et cette paire est exactement ce que présuppose le facteur de rectification dans $P(t)$ (rectification stochastique).

Ce que l’annexe garantit

Les trois lemmes constituent l’ossature mathématique de l’histoire physique du cadre : l’amplification est réelle mais plafonnée à $N$ (lemme 1) ; l’équilibre ne donne rien, donc aucune loi thermodynamique n’est violée (lemme 2) ; et toute sortie dirigée nette exige à la fois une asymétrie structurelle et un entraînement hors d’équilibre (lemme 3). Aucun de ces résultats n’est une physique nouvelle — ce sont des résultats standard de la théorie de la diffusion, de la mécanique statistique et de l’analyse de symétrie — et c’est précisément le propos : les étapes porteuses de $P(t)$ reposent sur des mathématiques établies, les amplitudes empiriques étant laissées à la mesure (mesure et falsifiabilité).