Mathematischer Anhang

Dieser Anhang formuliert und beweist drei Resultate, auf die sich der Rest der Referenz informell stützt. Jedes ist elementar und Standard; sie hier mit expliziten Beweisen zu sammeln, macht die tragenden Aussagen des Rahmenwerks prüfbar statt behauptet. Sie entsprechen den drei Mechanismen, die in den Deep Dives erzählerisch entwickelt werden: kohärente Verstärkung, das Gleichgewichts-No-Go und die Gleichrichtung.

Lemma 1 — Die kohärente Verstärkung ist durch N beschränkt

Aussage. Für $N$ identische Streuzentren, die je die Amplitude $a$ beitragen, erfüllt der effektive Wirkungsquerschnitt $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$ in der voll kohärenten (Vorwärts-)Richtung und $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$, wenn sich die Beiträge inkohärent addieren, wobei $\sigma_1 \propto |a|^2$. Der kohärente Verstärkungsfaktor gegenüber dem inkohärenten Fall ist somit höchstens $N$.

Beweis. Die Gesamtstreuamplitude ist die phasenbehaftete Summe $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$, wobei $\mathbf{q}$ der Impulsübertrag und $\mathbf{r}_j$ die Zentrenpositionen sind. Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zu $|A|^2$:

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

Im Vorwärtslimes $\mathbf{q}\to 0$ ist jede Phase eins, die Doppelsumme hat $N^2$ gleiche Terme, und $|A|^2 = N^2|a|^2$, was $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$ ergibt. Sind die Phasen hingegen zufällig und unkorreliert, mitteln sich die Außerdiagonalterme zu null, es bleiben die $N$ Diagonalterme, also $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$ und $\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$. Das Verhältnis beider ist $N$, erreicht nur dort, wo die Phasen ausgerichtet sind; bei endlichem $\mathbf{q}$ interpoliert ein Formfaktor $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ zwischen ihnen. $\blacksquare$

Die Verstärkung ist somit real, aber beschränkt: sie kann einen Pro-Teilchen-Wirkungsquerschnitt um höchstens einen Faktor $N$ heben, und nur innerhalb des Kohärenzfensters, das $F(\mathbf{q})$ setzt. Das ist der quantitative Gehalt hinter dem $N^2$-Gesetz.

Lemma 2 — Kein Nettostrom im Gleichgewicht

Aussage. Ein System im thermischen Gleichgewicht erzeugt keinen gerichteten stationären Strom: $\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$. Folglich verschwindet die Netto-Wandlungseffizienz $\eta_{\text{conv}}$ im Gleichgewicht, und jeder von null verschiedene Output erfordert einen Nichtgleichgewichts-Antrieb.

Beweis. Sei $P(x\to x')$ die Übergangsrate zwischen Mikrozuständen. Die detaillierte Bilanz bei Temperatur $T$ verlangt

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

mit $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$. Der stationäre Strom zu einer antisymmetrischen Observablen $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ ist $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$. Nach (2) ist die Klammer Term für Term null, also $J=0$. Äquivalent legt das Fluktuations-Dissipations-Theorem das Gleichgewichts-Fluktuationsspektrum auf die dissipative Antwort bei demselben $T$ fest, sodass kein Überschuss zum Gleichrichten bleibt. $\blacksquare$

Das ist der präzise Sinn, in dem das Rahmenwerk keine Perpetuum-mobile-Maschine beschreibt: im Gleichgewicht liefert es exakt null, und es ist nur für offene, fern vom Gleichgewicht gehaltene Systeme definiert (Offene thermodynamische Systeme).

Lemma 3 — Gerichteter Output erfordert gebrochene Symmetrie

Aussage (Curie-Prinzip). Sind die Dynamik und der Antrieb eines Systems invariant unter Rauminversion $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$, so verschwindet der stationäre gerichtete Strom, $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$. Ein von null verschiedener gerichteter Strom erfordert daher gebrochene Inversionssymmetrie.

Beweis. Sei $\mathcal{P}$ die Rauminversion. Der Strom ist ein polarer Vektor, $\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$. Kommutiert der Erzeuger der Dynamik (Hamiltonoperator plus Antrieb und die von ihm induzierte stationäre Verteilung) mit $\mathcal{P}$, so ist der Erwartungswert inversionsinvariant, $\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$, woraus $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$ folgt. Ein nicht verschwindendes $\langle\mathbf{J}\rangle$ ist nur möglich, wenn $\mathcal{P}$ keine Symmetrie ist — das System muss eine strukturelle Asymmetrie (eine Ratsche) tragen. $\blacksquare$

Zusammen mit Lemma 2 ergibt das die zwei notwendigen Bedingungen für gerichteten Output: eine gebrochene Raumsymmetrie (Lemma 3) und einen Nichtgleichgewichts-Antrieb (Lemma 2). Keines allein genügt — eine Ratsche im Gleichgewicht liefert weiterhin nichts — und genau dieses Paar setzt der Gleichrichtungsfaktor in $P(t)$ voraus (Stochastische Gleichrichtung).

Was der Anhang sichert

Die drei Lemmata sind das mathematische Rückgrat der physikalischen Geschichte des Rahmenwerks: die Verstärkung ist real, aber bei $N$ gedeckelt (Lemma 1); das Gleichgewicht liefert nichts, sodass kein thermodynamisches Gesetz verletzt wird (Lemma 2); und jeder gerichtete Netto-Output verlangt sowohl eine strukturelle Asymmetrie als auch einen Nichtgleichgewichts-Antrieb (Lemma 3). Keines davon ist neue Physik — es sind Standardresultate aus Streutheorie, statistischer Mechanik und Symmetrieanalyse — und das ist der Punkt: die tragenden Schritte von $P(t)$ ruhen auf gesicherter Mathematik, während die empirischen Größenordnungen der Messung überlassen bleiben (Messung und Falsifizierbarkeit).