数学附录

本附录陈述并证明了参考资料其余部分非正式依赖的三条结果。每一条都是初等而标准的;将它们连同显式证明一并收录于此,使框架的承重论断可供核验而非仅仅断言。它们对应于在深入探讨中以叙述方式展开的三个机制:相干增强、平衡态的禁阻,以及整流。

引理 1 —— 相干增强以 N 为界

陈述。 对于 $N$ 个相同的散射中心,每个贡献振幅 $a$,有效截面在完全相干(前向)方向满足 $\sigma_{\text{eff}} = N^2\,\sigma_1$,而当各贡献非相干相加时满足 $\sigma_{\text{eff}} = N\,\sigma_1$,其中 $\sigma_1 \propto |a|^2$。因此相干增强相对于非相干情形的因子至多为 $N$。

证明。 总散射振幅是带相位的求和 $A(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{N} a\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j}$,其中 $\mathbf{q}$ 是动量转移,$\mathbf{r}_j$ 是各中心位置。截面正比于 $|A|^2$:

$$|A(\mathbf{q})|^2 = |a|^2 \sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k)}. \tag{1}$$

在前向极限 $\mathbf{q}\to 0$ 时,每个相位都为一,双重求和有 $N^2$ 个相等的项,$|A|^2 = N^2|a|^2$,给出 $\sigma_{\text{eff}} = N^2\sigma_1$。若相位改为随机且不相关,则非对角项平均为零,只留下 $N$ 个对角项,于是 $\langle|A|^2\rangle = N|a|^2$,$\sigma_{\text{eff}} = N\sigma_1$。两者之比为 $N$,仅在相位对齐之处取得;在有限 $\mathbf{q}$ 处,一个形状因子 $F(\mathbf{q}) = N^{-2}\sum_{j,k} e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_k)} \le 1$ 在二者之间插值。$\blacksquare$

因此,增强虽真实却有界:它至多能将每粒子截面抬高一个 $N$ 的因子,且只在 $F(\mathbf{q})$ 所设的相干窗口之内。这便是 $N^2$ 定律背后的定量内容。

引理 2 —— 平衡态下无净电流

陈述。 处于热平衡的系统不产生有向的稳态电流:$\langle J\rangle_{\text{eq}} = 0$。因此净转换效率 $\eta_{\text{conv}}$ 在平衡态下消失,任何非零输出都需要一个非平衡驱动。

证明。 设 $P(x\to x')$ 为微观态之间的跃迁速率。温度 $T$ 下的细致平衡要求

$$P(x\to x')\,\rho_{\text{eq}}(x) = P(x'\to x)\,\rho_{\text{eq}}(x'), \tag{2}$$

其中 $\rho_{\text{eq}}(x)\propto e^{-\beta E(x)}$。与任何反对称可观测量 $\phi(x,x') = -\phi(x',x)$ 相关的稳态电流为 $J = \tfrac12\sum_{x,x'}\phi(x,x')\big[P(x\to x')\rho_{\text{eq}}(x) - P(x'\to x)\rho_{\text{eq}}(x')\big]$。由 (2),方括号逐项为零,故 $J=0$。等价地,涨落–耗散定理将平衡态涨落谱固定于同一 $T$ 下的耗散响应,不留下任何可供整流的盈余。$\blacksquare$

这正是该框架不描述永动机的精确含义:在平衡态它恰好返回零,而且它仅为被维持在偏离平衡的开放系统定义(开放热力学系统)。

引理 3 —— 有向输出需要破缺的对称性

陈述(居里原理)。 若一个系统的动力学与驱动在空间反演 $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$ 下不变,则稳态有向电流消失,$\langle\mathbf{J}\rangle = 0$。因此非零的有向电流需要破缺的反演对称性。

证明。 设 $\mathcal{P}$ 记空间反演。电流是一个极矢量,$\mathcal{P}\mathbf{J} = -\mathbf{J}$。若动力学的生成元(哈密顿量加驱动,以及它所诱导的稳态分布)与 $\mathcal{P}$ 对易,则期望值在反演下不变,$\langle\mathbf{J}\rangle = \langle\mathcal{P}\mathbf{J}\rangle = -\langle\mathbf{J}\rangle$,由此 $\langle\mathbf{J}\rangle = 0$。非零的 $\langle\mathbf{J}\rangle$ 只有在 $\mathcal{P}$ 不是对称性时才可能——系统必须带有结构性不对称(一个棘轮)。$\blacksquare$

连同引理 2,这给出了有向输出的两个必要条件:一个破缺的空间对称性(引理 3)与一个非平衡驱动(引理 2)。二者单独都不充分——处于平衡态的棘轮仍然一无所得——而这一对条件正是 $P(t)$ 中整流因子所预设的(随机整流)。

本附录确保了什么

三条引理是框架物理图景的数学骨干:增强真实但以 $N$ 为上限(引理 1);平衡态一无所得,故未违反任何热力学定律(引理 2);而任何净有向输出都要求兼有结构性不对称和非平衡驱动(引理 3)。它们没有一条是新物理——它们是散射理论、统计力学和对称性分析中的标准结果——而这正是要点所在:$P(t)$ 的承重步骤建立在既定数学之上,经验上的量值则留待测量(测量与可证伪性)。