Análisis de incertidumbre y propagación de errores

Una predicción sin una incertidumbre no es un enunciado científico. Una vez que la Schubart Master Formula devuelve un número para $P(t)$, la pregunta inmediata es cuánto puede confiarse en ese número dado que sus entradas —el flujo, la sección eficaz, la transferencia de momento, la velocidad de los fonones, la eficiencia— se conocen cada una solo con cierta precisión finita. Este capítulo deriva cómo se propagan esas incertidumbres de entrada a la salida, y llega a un resultado inusualmente limpio por la estructura de la fórmula: dado que $P$ es un producto de factores, las varianzas relativas de los factores simplemente se suman. Ese único hecho organiza todo el análisis y nos dice de un vistazo qué entrada vale la pena medir con más cuidado.

La estructura de producto y la diferencial logarítmica

Escríbase la fórmula, para el propósito de la propagación, como un producto de factores positivos,

$$P = \prod_i x_i ,$$

donde los $x_i$ representan los valores efectivos de $\Phi$, $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$, $\eta_{\text{conv}}$ y cualesquiera factores de medida que porten incertidumbre. La ruta más limpia hacia la ley de propagación es tomar el logaritmo antes de diferenciar. Como el logaritmo de un producto es una suma,

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

la diferencial se separa aditivamente:

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{that is}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

Este es el enunciado exacto de que un cambio fraccionario en la salida es la suma de los cambios fraccionarios en las entradas —una consecuencia directa de la forma multiplicativa, y la semilla de todo lo que sigue—.

Propagación de primer orden: las varianzas relativas se suman

Para convertir la diferencial en una varianza tomamos la expansión de Taylor de primer orden de $P$ alrededor de los valores medios $\bar x_i$. Interpretando $\mathrm{d}x_i$ como una pequeña desviación aleatoria $\delta x_i$ de media cero y varianza $\sigma_{x_i}^2$, y suponiendo que los factores son estadísticamente independientes, elevamos al cuadrado la relación $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ y tomamos esperanzas. Los términos cruzados $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ se anulan para $i\neq j$ bajo independencia, dejando solo la diagonal:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

Este es el resultado central del capítulo. La incertidumbre relativa al cuadrado de la salida es la suma de las incertidumbres relativas al cuadrado de las entradas. Equivalentemente, las incertidumbres relativas se suman en cuadratura. Se cumple a primer orden para cualquier producto de factores independientes, sin importar cuántos haya ni qué unidades porten —la forma relativa es adimensional, de modo que el flujo (en $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$) y la eficiencia (adimensional) contribuyen exactamente en el mismo pie de igualdad—.

Comportamiento de término dominante

Como las contribuciones se suman en cuadratura, no se suman democráticamente: la mayor incertidumbre relativa domina la suma. Si una entrada se conoce al $30\%$ y las demás al $5\%$ cada una, la incertidumbre de la salida está gobernada casi por completo por el término del $30\%$, ya que $0.30^2 = 0.09$ empequeñece a $0.05^2 = 0.0025$. La cuadratura suprime los términos pequeños cuadráticamente, de modo que el total está cerca del único peor factor:

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{when one term dominates.}$$

La consecuencia práctica es decisiva. El esfuerzo gastado en ajustar un factor ya preciso está casi desperdiciado; el retorno viene de medir mejor el factor menos conocido. En este marco el sospechoso habitual es la transferencia de momento de ruptura de simetría $\Delta p$, discutida en el análisis sigma, que es típicamente la magnitud más difícil de precisar y, por tanto, la que fija la precisión de la salida.

Entradas correlacionadas: los términos de covarianza

La ley de cuadratura limpia supone independencia. Cuando dos entradas están correlacionadas —porque comparten una medición común, una calibración común o un acoplamiento físico genuino— los términos cruzados ya no se anulan, y la ley de propagación adquiere contribuciones de covarianza:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

El signo de la corrección importa. Los factores positivamente correlacionados (ambos derivan hacia arriba juntos) inflan la varianza de la salida más allá de la estimación independiente; los factores negativamente correlacionados se cancelan parcialmente y la reducen. Ignorar una correlación positiva real, por tanto, produce una barra de error falsamente optimista —uno de los modos de fallo más comunes en el reporte de incertidumbre—. Las correlaciones relevantes aquí son exactamente los acoplamientos de factores señalados como rupturas del Supuesto A en supuestos y limitaciones: siempre que la forma de producto esté amenazada por saturación o retroalimentación, los términos de covarianza son la huella cuantitativa de esa amenaza.

Ejemplo resuelto ilustrativo

Considérese un conjunto puramente ilustrativo de incertidumbres relativas, elegido solo para mostrar la aritmética —ninguna de estas son valores medidos para sistema alguno—:

• flujo $\Phi$: $10\%$,
• sección eficaz $\sigma$: $15\%$,
• transferencia de momento $\Delta p$: $25\%$,
• velocidad de los fonones $v_{\text{ph}}$: $5\%$,
• eficiencia $\eta_{\text{conv}}$: $8\%$.

Suponiendo independencia, la varianza relativa de la salida es la suma en cuadratura

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0.10^2 + 0.15^2 + 0.25^2 + 0.05^2 + 0.08^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0064 = 0.1039 ,$$

de modo que

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.1039} \approx 0.32 ,$$

cerca del $32\%$. Nótese cómo el término $\Delta p$ solo ($0.0625$) aporta más de la mitad del total, mientras que el término de velocidad de los fonones del $5\%$ ($0.0025$) es esencialmente despreciable. Este es el comportamiento de término dominante hecho concreto: la precisión de la salida está fijada casi por completo por la entrada menos conocida. Si existiera una correlación positiva de, digamos, $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0.02$ entre la sección eficaz y la transferencia de momento, el término adicional $2\times0.02 = 0.04$ empujaría la varianza a $0.144$ y la incertidumbre de la salida a $\approx 38\%$ —un ensanchamiento sustancial a partir de una correlación modesta—. Los números de aquí son órdenes de magnitud ilustrativos, no afirmaciones.

Conexión con el muestreo de Monte Carlo

La ley de primer orden de arriba es una aproximación linealizada, exacta solo en el límite de desviaciones pequeñas y una respuesta localmente lineal. Como $P$ es un producto de factores positivos, su distribución de salida es en general sesgada y de cola larga en lugar de gaussiana, y un intervalo simétrico $\pm\sigma_P$ subestima la cola superior. La forma rigurosa de capturar la distribución completa es muestrear las entradas de su distribución conjunta y evaluar la fórmula para cada extracción —la propagación directa de Monte Carlo descrita en validación de Monte Carlo—. Ese procedimiento no hace supuesto de linealidad alguno y respeta las correlaciones automáticamente, siempre que las entradas se extraigan de una distribución conjunta con la estructura de covarianza correcta. En el límite de incertidumbre pequeña, la dispersión de Monte Carlo reproduce la ley de cuadratura de arriba, razón por la cual las dos son comprobaciones consistentes una de otra: la ley analítica da la intuición y el diagnóstico de término dominante, mientras que el muestreo da la distribución de salida honesta, posiblemente asimétrica. La anchura de esa distribución es el sigma de consistencia del modelo reportado en todo el marco, y puede explorarse interactivamente en el playground. Una instancia numérica plenamente resuelta se lleva a cabo en el ejemplo resuelto, y el reparto de la varianza total entre los factores —qué término medir primero— se desarrolla como un presupuesto de error formal en sensibilidad y presupuesto de error.

Lectura adicional

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2nd ed. (University Science Books, 1997) — el tratamiento estándar de la regla del producto y la suma en cuadratura de incertidumbres relativas.
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — el enunciado autorizado de la ley de propagación de la incertidumbre, incluidos los términos de covarianza.
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — la referencia para la propagación de Monte Carlo cuando la ley linealizada es inadecuada.