Unsicherheitsanalyse und Fehlerfortpflanzung

Eine Vorhersage ohne Unsicherheit ist keine wissenschaftliche Aussage. Sobald die Schubart Master-Formel eine Zahl für $P(t)$ liefert, lautet die unmittelbare Frage, wie sehr dieser Zahl zu trauen ist, wo doch ihre Eingänge — der Fluss, der Wirkungsquerschnitt, der Impulsübertrag, die Phononengeschwindigkeit, der Wirkungsgrad — jeweils nur mit einer endlichen Genauigkeit bekannt sind. Dieses Kapitel leitet her, wie sich diese Eingangsunsicherheiten auf die Ausgangsgröße fortpflanzen, und gelangt zu einem Ergebnis, das dank der Struktur der Formel ungewöhnlich sauber ist: da $P$ ein Produkt von Faktoren ist, addieren sich die relativen Varianzen der Faktoren schlicht. Diese eine Tatsache ordnet die gesamte Analyse und sagt uns auf einen Blick, welcher Eingang eine sorgfältigere Messung wert ist.

Die Produktstruktur und das Log-Differential

Schreibe die Formel für den Zweck der Fortpflanzung als Produkt positiver Faktoren,

$$P = \prod_i x_i ,$$

wobei die $x_i$ für die effektiven Werte von $\Phi$, $\sigma$, $\Delta p$, $v_{\text{ph}}$, $\eta_{\text{conv}}$ und alle Maßfaktoren stehen, die eine Unsicherheit tragen. Der sauberste Weg zum Fortpflanzungsgesetz besteht darin, vor dem Differenzieren den Logarithmus zu nehmen. Da der Logarithmus eines Produkts eine Summe ist,

$$\ln P = \sum_i \ln x_i ,$$

trennt sich das Differential additiv:

$$\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{das heißt}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .$$

Dies ist die exakte Aussage, dass eine relative Änderung der Ausgangsgröße die Summe der relativen Änderungen der Eingänge ist — eine direkte Folge der multiplikativen Form und der Keim von allem, was folgt.

Fortpflanzung erster Ordnung: relative Varianzen addieren sich

Um das Differential in eine Varianz zu verwandeln, nehmen wir die Taylor-Entwicklung erster Ordnung von $P$ um die Mittelwerte $\bar x_i$. Deuten wir $\mathrm{d}x_i$ als kleine zufällige Abweichung $\delta x_i$ mit Mittelwert null und Varianz $\sigma_{x_i}^2$ und nehmen an, dass die Faktoren statistisch unabhängig sind, so quadrieren wir die Beziehung $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ und bilden Erwartungswerte. Die Kreuzterme $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ verschwinden für $i\neq j$ unter Unabhängigkeit, sodass nur die Diagonale bleibt:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .$$

Dies ist das zentrale Ergebnis des Kapitels. Die quadrierte relative Unsicherheit der Ausgangsgröße ist die Summe der quadrierten relativen Unsicherheiten der Eingänge. Gleichwertig: relative Unsicherheiten addieren sich quadratisch. Es gilt in erster Ordnung für jedes Produkt unabhängiger Faktoren, gleich wie viele es sind oder welche Einheiten sie tragen — die relative Form ist dimensionslos, sodass der Fluss (in $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$) und der Wirkungsgrad (dimensionslos) auf genau demselben Fuß beitragen.

Verhalten des dominierenden Terms

Da sich die Beiträge quadratisch addieren, addieren sie sich nicht demokratisch: die größte relative Unsicherheit dominiert die Summe. Ist ein Eingang auf $30\,\%$ und die übrigen auf je $5\,\%$ bekannt, so wird die Ausgangsunsicherheit fast vollständig vom $30\,\%$-Term bestimmt, da $0{,}30^2 = 0{,}09$ den Wert $0{,}05^2 = 0{,}0025$ überragt. Die quadratische Addition unterdrückt die kleinen Terme quadratisch, sodass das Gesamtergebnis nahe am einzelnen schlechtesten Faktor liegt:

$$\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{wenn ein Term dominiert.}$$

Die praktische Folge ist entscheidend. Mühe, die in das Verschärfen eines bereits präzisen Faktors gesteckt wird, ist nahezu vergeudet; der Ertrag kommt daraus, den am schlechtesten bekannten Faktor besser zu messen. In diesem Rahmenwerk ist der übliche Verdächtige der symmetriebrechende Impulsübertrag $\Delta p$, erörtert in der Sigma-Analyse, der typischerweise die am schwersten festzunagelnde Größe und daher diejenige ist, die die Ausgangsgenauigkeit setzt.

Korrelierte Eingänge: die Kovarianzterme

Das saubere Quadratur-Gesetz setzt Unabhängigkeit voraus. Sind zwei Eingänge korreliert — weil sie eine gemeinsame Messung, eine gemeinsame Kalibrierung oder eine echte physikalische Kopplung teilen —, verschwinden die Kreuzterme nicht mehr, und das Fortpflanzungsgesetz erhält Kovarianzbeiträge:

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} + 2\sum_{i<j} \frac{\mathrm{cov}(x_i,x_j)}{x_i\,x_j} .$$

Das Vorzeichen der Korrektur ist von Bedeutung. Positiv korrelierte Faktoren (beide driften gemeinsam nach oben) vergrößern die Ausgangsvarianz über die Unabhängigkeitsschätzung hinaus; negativ korrelierte Faktoren heben sich teilweise auf und verringern sie. Eine reale positive Korrelation zu ignorieren erzeugt daher eine fälschlich optimistische Fehlerangabe — eines der häufigsten Versagensmuster in der Unsicherheitsberichterstattung. Die hier relevanten Korrelationen sind genau die Faktorkopplungen, die als Versagen von Annahme A in den Annahmen und Grenzen gekennzeichnet sind: wann immer die Produktform durch Sättigung oder Rückkopplung bedroht ist, sind die Kovarianzterme der quantitative Fingerabdruck dieser Bedrohung.

Illustratives Rechenbeispiel

Betrachte einen rein illustrativen Satz relativer Unsicherheiten, gewählt allein, um die Rechnung zu zeigen — keine davon sind gemessene Werte für irgendein System:

• Fluss $\Phi$: $10\,\%$,
• Wirkungsquerschnitt $\sigma$: $15\,\%$,
• Impulsübertrag $\Delta p$: $25\,\%$,
• Phononengeschwindigkeit $v_{\text{ph}}$: $5\,\%$,
• Wirkungsgrad $\eta_{\text{conv}}$: $8\,\%$.

Unter Annahme der Unabhängigkeit ist die relative Ausgangsvarianz die quadratische Summe

$$\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0{,}10^2 + 0{,}15^2 + 0{,}25^2 + 0{,}05^2 + 0{,}08^2 = 0{,}01 + 0{,}0225 + 0{,}0625 + 0{,}0025 + 0{,}0064 = 0{,}1039 ,$$

sodass

$$\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0{,}1039} \approx 0{,}32 ,$$

etwa $32\,\%$. Man beachte, wie allein der $\Delta p$-Term ($0{,}0625$) mehr als die Hälfte des Gesamtwerts liefert, während der $5\,\%$-Phononengeschwindigkeitsterm ($0{,}0025$) im Wesentlichen vernachlässigbar ist. Dies ist das Verhalten des dominierenden Terms in konkreter Form: die Ausgangsgenauigkeit wird fast vollständig vom am schlechtesten bekannten Eingang gesetzt. Bestünde eine positive Korrelation von etwa $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0{,}02$ zwischen Wirkungsquerschnitt und Impulsübertrag, so würde der Zusatzterm $2\times0{,}02 = 0{,}04$ die Varianz auf $0{,}144$ und die Ausgangsunsicherheit auf $\approx 38\,\%$ treiben — eine erhebliche Verbreiterung aus einer moderaten Korrelation. Die Zahlen hier sind illustrative Größenordnungen, keine Behauptungen.

Verbindung zum Monte-Carlo-Sampling

Das obige Gesetz erster Ordnung ist eine linearisierte Näherung, exakt nur im Grenzfall kleiner Abweichungen und einer lokal linearen Antwort. Da $P$ ein Produkt positiver Faktoren ist, ist seine Ausgangsverteilung im Allgemeinen schief und langschwänzig statt gaußförmig, und ein symmetrisches $\pm\sigma_P$-Intervall unterschätzt den oberen Schwanz. Der strenge Weg, die volle Verteilung zu erfassen, besteht darin, die Eingänge aus ihrer gemeinsamen Verteilung zu ziehen und die Formel für jede Ziehung auszuwerten — die Vorwärts-Monte-Carlo-Fortpflanzung, beschrieben in der Monte-Carlo-Validierung. Dieses Verfahren macht keine Linearitätsannahme und respektiert Korrelationen automatisch, sofern die Eingänge aus einer gemeinsamen Verteilung mit der richtigen Kovarianzstruktur gezogen werden. Im Grenzfall kleiner Unsicherheiten reproduziert die Monte-Carlo-Streuung das obige Quadratur-Gesetz, weshalb die beiden einander prüfende Konsistenztests sind: das analytische Gesetz liefert die Intuition und die Diagnose des dominierenden Terms, während das Sampling die redliche, möglicherweise asymmetrische Ausgangsverteilung liefert. Die Breite dieser Verteilung ist das im gesamten Rahmenwerk berichtete Modellkonsistenz-Sigma, und sie lässt sich interaktiv im Playground erkunden. Ein vollständig durchgerechnetes numerisches Beispiel wird im Rechenbeispiel geführt, und die Aufteilung der Gesamtvarianz auf die Faktoren — welcher Term zuerst zu messen ist — wird als formales Fehlerbudget in Sensitivität und Fehlerbudget entwickelt.

Weiterführend

• J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2. Aufl. (University Science Books, 1997) — die Standardbehandlung der Produktregel und der quadratischen Addition relativer Unsicherheiten.
• JCGM 100:2008, Evaluation of Measurement Data — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) — die maßgebliche Formulierung des Fortpflanzungsgesetzes der Unsicherheit, einschließlich der Kovarianzterme.
• JCGM 101:2008, Supplement 1 — Propagation of distributions using a Monte Carlo method — die Referenz für die Monte-Carlo-Fortpflanzung, wenn das linearisierte Gesetz unzureichend ist.