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不确定度分析与误差传播

输入不确定度如何穿过 P(t) 的乘积形式传播:相对方差相加,最大的相对不确定度占主导,相关的输入增加协方差项,并附一个示意性的完整算例。

最后更新: 2026-07-26

一个没有不确定度的预测不是科学陈述。一旦 Schubart Master Formula 为 $P(t)$ 返回一个数,紧接着的问题是,鉴于它的输入——通量、截面、动量转移、声子速度、效率——各自都只知道到某个有限精度,这个数能被信任到什么程度。本章推导那些输入不确定度如何传播到输出,并得出一个因公式结构而异常清晰的结果:由于 $P$ 是各因子的乘积,这些因子的相对方差直接相加。这一个事实组织起整个分析,并一眼告诉我们哪个输入值得更仔细地测量。

乘积结构与对数微分

为传播之目的,把公式写成正因子的乘积,

P = \prod_i x_i ,

其中 $x_i$ 代表 $\Phi$ 、 $\sigma$ 、 $\Delta p$ 、 $v_{\text{ph}}$ 、 $\eta_{\text{conv}}$ 以及任何携带不确定度的测度因子的有效值。通往传播律最干净的途径是在求微分之前取对数。因为乘积的对数是和,

\ln P = \sum_i \ln x_i ,

微分可加地分离:

\mathrm{d}\ln P = \sum_i \mathrm{d}\ln x_i , \qquad\text{that is}\qquad \frac{\mathrm{d}P}{P} = \sum_i \frac{\mathrm{d}x_i}{x_i} .

这是精确的陈述:输出的分数变化是各输入分数变化之和——这是相乘形式的直接后果,也是随后一切的种子。

一阶传播:相对方差相加

为把微分变成方差,我们取 $P$ 关于均值 $\bar x_i$ 的一阶泰勒展开。把 $\mathrm{d}x_i$ 解释为一个零均值、方差为 $\sigma_{x_i}^2$ 的小随机偏差 $\delta x_i$ ,并假设各因子统计独立,我们把关系式 $\delta P/P = \sum_i \delta x_i/x_i$ 平方并取期望。在独立性下交叉项 $\langle \delta x_i\,\delta x_j\rangle$ 对 $i\neq j$ 消失,只留下对角项:

\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = \sum_i \left(\frac{\sigma_{x_i}}{x_i}\right)^{2} .

这是本章的核心结果。输出的平方相对不确定度是各输入平方相对不确定度之和。等价地,相对不确定度以方和方式相加。它对任何独立因子的乘积都一阶成立,无论有多少个因子或它们携带什么单位——相对形式是无量纲的,因此通量(单位 $\mathrm{W\,m^{-2}\,sr^{-1}\,J^{-1}}$ )和效率(无量纲)以完全相同的地位作贡献。

主导项行为

因为各贡献以方和方式相加,它们并不民主地相加:最大的相对不确定度主导该和。如果一个输入已知到 $30\%$ 而其他各到 $5\%$ ,输出不确定度几乎完全由 $30\%$ 这一项支配,因为 $0.30^2 = 0.09$ 使 $0.05^2 = 0.0025$ 相形见绌。方和以二次方的方式压制小项,因此总量接近于那个单一的最差因子:

\frac{\sigma_P}{P} \approx \max_i \frac{\sigma_{x_i}}{x_i} \quad\text{when one term dominates.}

实用后果是决定性的。花在收紧一个已经精确的因子上的努力几乎是浪费;回报来自更好地测量那个最不为人知的因子。在这个框架中,通常的嫌疑对象是破缺对称性的动量转移 $\Delta p$ ,在sigma 分析中讨论,它通常是最难钉下的量,因此是设定输出精度的那一个。

示意性完整算例

考虑一组纯粹示意性的相对不确定度,仅选来展示算术——它们都不是任何系统的测量值:

通量 $\Phi$ : $10\%$ ,
截面 $\sigma$ : $15\%$ ,
动量转移 $\Delta p$ : $25\%$ ,
声子速度 $v_{\text{ph}}$ : $5\%$ ,
效率 $\eta_{\text{conv}}$ : $8\%$ 。

假设独立性,输出相对方差是方和

\left(\frac{\sigma_P}{P}\right)^{2} = 0.10^2 + 0.15^2 + 0.25^2 + 0.05^2 + 0.08^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0064 = 0.1039 ,

于是

\frac{\sigma_P}{P} = \sqrt{0.1039} \approx 0.32 ,

约 $32\%$ 。注意 $\Delta p$ 一项( $0.0625$ )如何单独就提供了一多半的总量,而 $5\%$ 的声子速度项( $0.0025$ )基本可忽略。这就是主导项行为的具体化:输出精度几乎完全由最不为人知的输入设定。如果截面和动量转移之间存在一个正相关,比如 $\mathrm{cov}(\sigma,\Delta p)/(\sigma\,\Delta p) = +0.02$ ,那么额外项 $2\times0.02 = 0.04$ 会把方差推到 $0.144$ ,把输出不确定度推到 $\approx 38\%$ ——一个来自适度相关的可观展宽。此处的数字是示意性的量级,不是主张。

与蒙特卡罗抽样的联系

上述一阶律是一个线性化近似,仅在小偏差和局部线性响应的极限下精确。因为 $P$ 是正因子的乘积,其输出分布通常是偏斜且长尾的而非高斯的,一个对称的 $\pm\sigma_P$ 区间会低估上尾。捕捉完整分布的严格方式是从输入的联合分布中抽样,并对每次抽取求值公式——即蒙特卡罗验证中描述的前向蒙特卡罗传播。只要输入是从一个具有正确协方差结构的联合分布中抽取,那个过程就不作任何线性假设,并自动尊重相关。在小不确定度极限下,蒙特卡罗离散再现上述方和律,这就是为何二者是彼此的一致性检验:解析律给出直觉和主导项诊断,而抽样给出诚实的、可能不对称的输出分布。那个分布的宽度就是在整个框架中报告的模型一致性 sigma,它可以在游乐场中交互地探索。一个完全算出的数值实例在完整算例中贯穿始终,而把总方差在各因子间的分摊——该先测量哪一项——作为一份正式的误差预算在敏感性与误差预算中展开。