Sensibilidad y presupuesto de error

Un análisis de sensibilidad plantea una pregunta precisa: si una entrada se mueve, ¿cuánto se mueve la salida, y qué entrada importa más? Para $P(t)$ la respuesta tiene una estructura inusualmente limpia, porque la ecuación maestra es multiplicativa. Este capítulo separa las dos cosas que un análisis de sensibilidad confunde —la respuesta a un cambio y la contribución a la incertidumbre— y muestra que para $P(t)$ se comportan de forma muy diferente. Se apoya directamente en el análisis de incertidumbre y comparte su maquinaria con el cuaderno de reproducibilidad.

Cada factor tiene elasticidad unitaria

Escríbase la salida agregada esquemáticamente como un producto de sus factores, $P = \prod_i x_i$ con $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$. La elasticidad de $P$ con respecto a cualquier factor —el cambio fraccionario en la salida por cambio fraccionario en la entrada— es entonces exactamente uno:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{for every } i. \tag{1}$$

Un cambio del uno por ciento en cualquier factor individual cambia la salida en un uno por ciento, ni más ni menos. La respuesta de primer orden es, por tanto, uniforme: ningún factor está intrínsecamente más “apalancado” que otro. Esta es una propiedad genuina de la forma multiplicativa, y significa que el habitual ordenamiento por derivada local no es informativo aquí: ordenaría los cinco factores por igual.

Lo que realmente difiere es la incertidumbre

Si los factores no son igualmente sensibles, desde luego no son igualmente conocidos. La pregunta de sensibilidad útil para $P(t)$ es, por tanto, un presupuesto de error: ¿cuánto de la incertidumbre en la salida aporta cada factor? Tratando los factores como independientes y distribuidos log-normalmente —la elección natural para magnitudes inciertas a lo largo de un orden de magnitud—, las log-varianzas se suman:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

de modo que la contribución fraccionaria del factor $i$ a la varianza de la salida es simplemente

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

El presupuesto de error está determinado por completo por las incertidumbres relativas $\sigma_i$, no por los valores de los factores. Esta es la magnitud que vale la pena ordenar.

Presupuesto de error (ilustrativo)

La tabla usa incertidumbres ilustrativas en escala logarítmica —señaladas como tales, elegidas para reflejar que la sección eficaz del neutrino es el término menos restringido y la velocidad de los fonones está entre los mejor restringidos—. Los valores reales provendrían de la medición (medición y falsabilidad).

Factor	$\sigma_i$ ilustrativa (unidades ln)	Participación en la varianza $c_i$
$\sigma(E)$ — sección eficaz de dispersión	0.6	40.0%
$\Phi$ — densidad de flujo de radiación	0.5	27.8%
$\Delta p$ — transferencia de momento	0.4	17.8%
$\eta_{\text{conv}}$ — eficiencia de conversión	0.3	10.0%
$v_{\text{ph}}$ — velocidad de los fonones	0.2	4.4%

Lo que te dice el presupuesto

Se siguen dos conclusiones prácticas, y son la razón por la que el análisis vale la pena. Primero, la prioridad de medición: dado que el término de la sección eficaz carga con la mayor participación de la varianza, un programa experimental reduce la incertidumbre de la salida más rápido restringiendo primero $\sigma(E)$; reducir a la mitad su $\sigma_i$ elimina más de la varianza total que reducir a la mitad cualquier otra. Segundo, dónde se desperdicia la precisión: ajustar la velocidad de los fonones, ya el término mejor restringido, apenas mueve el total. Combinado con el resultado de elasticidad unitaria, el panorama queda completo: cada factor importa por igual para el valor de $P(t)$, pero importan de forma muy desigual para su incertidumbre, y el presupuesto de error dice exactamente dónde mirar. Como con todos los números de este sitio, las $\sigma_i$ de aquí son ilustrativas; el método —descomponer la log-varianza, ordenar las participaciones, actuar sobre la mayor— es el contenido transferible, y es reproducible desde el cuaderno.