Sensibilidade e Orçamento de Erro

Uma análise de sensibilidade faz uma pergunta afiada: se uma entrada se move, quanto a saída se move, e qual entrada mais importa? Para $P(t)$ a resposta tem uma estrutura excepcionalmente limpa, porque a equação mestra é multiplicativa. Este capítulo separa as duas coisas que uma análise de sensibilidade confunde — a resposta a uma variação e a contribuição à incerteza — e mostra que, para $P(t)$, elas se comportam de modo muito diferente. Ele se constrói diretamente sobre a análise de incerteza e compartilha sua maquinaria com o caderno de reprodutibilidade.

Todo fator tem elasticidade unitária

Escreva a saída agregada esquematicamente como um produto de seus fatores, $P = \prod_i x_i$ com $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$. A elasticidade de $P$ em relação a qualquer fator — a variação fracionária da saída por variação fracionária da entrada — é então exatamente um:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{para todo } i. \tag{1}$$

Uma variação de um por cento em qualquer fator isolado altera a saída em um por cento, nem mais nem menos. A resposta de primeira ordem é, portanto, uniforme: nenhum fator é intrinsecamente mais “alavancado” que outro. Esta é uma propriedade genuína da forma multiplicativa, e significa que o ordenamento usual por derivada local não é informativo aqui — ele classificaria os cinco fatores igualmente.

O que de fato difere é a incerteza

Se os fatores não são igualmente responsivos, eles certamente não são igualmente conhecidos. A questão útil de sensibilidade para $P(t)$ é, portanto, um orçamento de erro: quanto da incerteza na saída cada fator contribui? Tratando os fatores como independentes e log-normalmente distribuídos — a escolha natural para grandezas incertas ao longo de uma ordem de magnitude — as log-variâncias se somam:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

de modo que a contribuição fracionária do fator $i$ à variância da saída é simplesmente

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

O orçamento de erro é determinado inteiramente pelas incertezas relativas $\sigma_i$, não pelos valores dos fatores. Esta é a grandeza que vale a pena ordenar.

Orçamento de erro (ilustrativo)

A tabela usa incertezas em escala logarítmica ilustrativas — sinalizadas como tais, escolhidas para refletir que a seção de choque de neutrino é o termo menos restringido e a velocidade dos fônons está entre os mais bem restringidos. Valores reais viriam de medição (medição e falsificabilidade).

Fator	$\sigma_i$ ilustrativo (unidades ln)	Parcela de variância $c_i$
$\sigma(E)$ — seção de choque de espalhamento	0,6	40,0%
$\Phi$ — densidade de fluxo de radiação	0,5	27,8%
$\Delta p$ — transferência de momento	0,4	17,8%
$\eta_{\text{conv}}$ — eficiência de conversão	0,3	10,0%
$v_{\text{ph}}$ — velocidade dos fônons	0,2	4,4%

O que o orçamento diz a você

Duas conclusões práticas decorrem disso, e são a razão pela qual a análise vale a pena. Primeiro, a prioridade de medição: como o termo da seção de choque carrega a maior parcela da variância, um programa experimental reduz a incerteza da saída mais rapidamente restringindo $\sigma(E)$ primeiro; reduzir pela metade seu $\sigma_i$ remove mais da variância total do que reduzir pela metade qualquer outro. Segundo, onde a precisão é desperdiçada: apertar a velocidade dos fônons, já o termo mais bem restringido, mal move o total. Combinado com o resultado de elasticidade unitária, o quadro está completo — todo fator importa igualmente para o valor de $P(t)$, mas eles importam de modo muito desigual para sua incerteza, e o orçamento de erro diz exatamente onde olhar. Como com todos os números deste site, os $\sigma_i$ aqui são ilustrativos; o método — decompor a log-variância, ordenar as parcelas, agir sobre a maior — é o conteúdo transferível, e é reproduzível a partir do caderno.