Чувствительность и бюджет ошибок

Анализ чувствительности задаёт острый вопрос: если один вход сдвигается, насколько сдвигается выход и какой вход важнее всего? Для $P(t)$ ответ имеет необычайно чистую структуру, потому что мастер-уравнение мультипликативно. Эта глава разделяет две вещи, которые смешивает анализ чувствительности — отклик на изменение и вклад в неопределённость — и показывает, что для $P(t)$ они ведут себя очень по-разному. Она напрямую строится на анализе неопределённости и разделяет его механику с блокнотом воспроизводимости.

Каждый фактор имеет единичную эластичность

Запишем агрегированный выход схематически как произведение его факторов, $P = \prod_i x_i$ с $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$. Эластичность $P$ по отношению к любому фактору — долевое изменение выхода на долевое изменение входа — тогда в точности равна единице:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{for every } i. \tag{1}$$

Однопроцентное изменение любого отдельного фактора меняет выход на один процент, не больше и не меньше. Отклик первого порядка поэтому однороден: ни один фактор не является по сути более «рычажным», чем другой. Это подлинное свойство мультипликативной формы, и оно означает, что обычное ранжирование по локальной производной здесь неинформативно — оно ранжировало бы все пять факторов одинаково.

Что действительно различается — это неопределённость

Если факторы не одинаково отзывчивы, они точно не одинаково известны. Полезный вопрос чувствительности для $P(t)$ поэтому является бюджетом ошибок: какую часть неопределённости выхода вносит каждый фактор? Трактуя факторы как независимые и логарифмически нормально распределённые — естественный выбор для величин, неопределённых в пределах порядка величины — лог-дисперсии складываются:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

так что долевой вклад фактора $i$ в дисперсию выхода есть просто

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

Бюджет ошибок задаётся целиком относительными неопределённостями $\sigma_i$, а не значениями факторов. Это и есть величина, достойная ранжирования.

Бюджет ошибок (иллюстративный)

В таблице используются иллюстративные логарифмические неопределённости — помеченные как таковые, выбранные, чтобы отразить, что сечение рассеяния нейтрино — наименее ограниченный член, а скорость фононов — среди наилучше ограниченных. Реальные значения пришли бы из измерения (измерение и фальсифицируемость).

Фактор	Иллюстративное $\sigma_i$ (ln-единицы)	Доля дисперсии $c_i$
$\sigma(E)$ — сечение рассеяния	0.6	40.0%
$\Phi$ — плотность потока излучения	0.5	27.8%
$\Delta p$ — передача импульса	0.4	17.8%
$\eta_{\text{conv}}$ — эффективность преобразования	0.3	10.0%
$v_{\text{ph}}$ — скорость фононов	0.2	4.4%

Что говорит вам бюджет

Два практических вывода следуют, и они и есть причина, по которой анализ стоит делать. Во-первых, приоритет измерения: поскольку член сечения несёт наибольшую долю дисперсии, экспериментальная программа быстрее всего снижает неопределённость выхода, ограничивая $\sigma(E)$ в первую очередь; уменьшение его $\sigma_i$ вдвое убирает больше общей дисперсии, чем уменьшение вдвое любого другого. Во-вторых, где точность растрачивается: ужесточение скорости фононов, уже наилучше ограниченного члена, едва сдвигает итог. В сочетании с результатом о единичной эластичности картина полна — каждый фактор одинаково важен для значения $P(t)$, но они очень неодинаково важны для его неопределённости, и бюджет ошибок говорит точно, где искать. Как и все числа на этом сайте, $\sigma_i$ здесь иллюстративны; метод — разложить лог-дисперсию, ранжировать доли, действовать по наибольшей — вот переносимое содержание, и оно воспроизводимо из блокнота.