敏感性与误差预算

敏感性分析问一个尖锐的问题:如果一个输入移动,输出移动多少,以及哪个输入最重要?对于 $P(t)$,答案具有异常清晰的结构,因为主方程是相乘的。本章区分敏感性分析所混同的两件事——对一次变化的响应与对不确定度的贡献——并表明对于 $P(t)$ 二者表现得非常不同。它直接建立在不确定度分析之上,并与可复现性笔记本共享其机制。

每个因子都具有单位弹性

将聚合输出示意性地写成其各因子的乘积,$P = \prod_i x_i$,其中 $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$。于是 $P$ 相对于任一因子的弹性——输出的分数变化除以输入的分数变化——恰好为一:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{for every } i. \tag{1}$$

任一单个因子变化百分之一,输出就变化百分之一,不多不少。因此一阶响应是均匀的:没有哪个因子在本质上比另一个更”有杠杆”。这是相乘形式的一个真实性质,它意味着通常的局部导数排序在此没有信息——它会把全部五个因子排得同等。

真正有差异的是不确定度

如果说各因子并非同等响应,它们当然也并非同等已知。因此对 $P(t)$ 有用的敏感性问题是一份误差预算:每个因子对输出的不确定度贡献了多少?把各因子视为独立且服从对数正态分布——这是跨越一个数量级而不确定的量的自然选择——各对数方差相加:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

于是因子 $i$ 对输出方差的分数贡献就是

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

误差预算完全由相对不确定度 $\sigma_i$ 决定,而不由各因子的值决定。这才是值得排序的量。

误差预算(示意性)

下表使用示意性的对数尺度不确定度——如此标注,所选取的值反映出中微子截面是约束最弱的项,而声子速度属于约束最好的项之一。真实值将来自测量(测量与可证伪性)。

因子	示意性 $\sigma_i$(ln 单位)	方差份额 $c_i$
$\sigma(E)$ —— 散射截面	0.6	40.0%
$\Phi$ —— 辐射通量密度	0.5	27.8%
$\Delta p$ —— 动量转移	0.4	17.8%
$\eta_{\text{conv}}$ —— 转换效率	0.3	10.0%
$v_{\text{ph}}$ —— 声子速度	0.2	4.4%

误差预算告诉你什么

由此得出两个实用结论,它们正是值得做这一分析的理由。第一,测量优先级:因为截面项承载了方差的最大份额,一个实验计划通过首先约束 $\sigma(E)$ 来最快地降低输出不确定度;把它的 $\sigma_i$ 减半所消除的总方差,比把任何其他因子减半都要多。第二,精度浪费在哪里:收紧声子速度——已经是约束最好的项——几乎不动总量。与单位弹性结果相结合,图景就完整了——每个因子对 $P(t)$ 的值同等重要,但它们对其不确定度则很不同等重要,而误差预算恰恰指明该看哪里。与本站所有数字一样,此处的 $\sigma_i$ 是示意性的;可迁移的内容是那个方法——分解对数方差、排序各份额、对最大者采取行动——它可从笔记本复现。