Sensitivität und Fehlerbudget

Eine Sensitivitätsanalyse stellt eine scharfe Frage: bewegt sich ein Eingang, wie stark bewegt sich der Ausgang, und welcher Eingang zählt am meisten? Für $P(t)$ hat die Antwort eine ungewöhnlich klare Struktur, weil die Master-Gleichung multiplikativ ist. Dieses Kapitel trennt die beiden Dinge, die eine Sensitivitätsanalyse vermengt — die Reaktion auf eine Änderung und den Beitrag zur Unsicherheit — und zeigt, dass sie sich für $P(t)$ sehr unterschiedlich verhalten. Es baut direkt auf der Unsicherheitsanalyse auf und teilt ihre Mechanik mit dem Reproduzierbarkeits-Notebook.

Jeder Faktor hat Elastizität eins

Schreibt man den aggregierten Output schematisch als Produkt seiner Faktoren, $P = \prod_i x_i$ mit $x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$, so ist die Elastizität von $P$ bezüglich jedes Faktors — die relative Output-Änderung pro relativer Input-Änderung — exakt eins:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{für jedes } i. \tag{1}$$

Eine einprozentige Änderung irgendeines einzelnen Faktors ändert den Output um ein Prozent, nicht mehr und nicht weniger. Die Reaktion erster Ordnung ist somit einheitlich: kein Faktor ist von Natur aus stärker „gehebelt” als ein anderer. Das ist eine echte Eigenschaft der multiplikativen Form und bedeutet, dass die übliche lokale Ableitungs-Rangordnung hier nichts aussagt — sie würde alle fünf Faktoren gleich einstufen.

Was sich tatsächlich unterscheidet, ist die Unsicherheit

Sind die Faktoren nicht gleich reaktiv, so sind sie gewiss nicht gleich gut bekannt. Die nützliche Sensitivitätsfrage für $P(t)$ ist daher ein Fehlerbudget: wie viel der Unsicherheit im Output trägt jeder Faktor bei? Behandelt man die Faktoren als unabhängig und log-normalverteilt — die natürliche Wahl für über eine Größenordnung unsichere Größen — so addieren sich die Log-Varianzen:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

sodass der Anteil des Faktors $i$ an der Output-Varianz einfach

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}} \tag{3}$$

ist. Das Fehlerbudget wird allein durch die relativen Unsicherheiten $\sigma_i$ bestimmt, nicht durch die Werte der Faktoren. Das ist die Größe, die zu ordnen sich lohnt.

Fehlerbudget (illustrativ)

Die Tabelle verwendet illustrative logarithmische Unsicherheiten — als solche gekennzeichnet, gewählt, um widerzuspiegeln, dass der Neutrino-Wirkungsquerschnitt der am wenigsten eingegrenzte Term ist und die Phononengeschwindigkeit zu den am besten eingegrenzten zählt. Reale Werte kämen aus Messungen (Messung und Falsifizierbarkeit).

Faktor	Illustratives $\sigma_i$ (ln-Einheiten)	Varianzanteil $c_i$
$\sigma(E)$ — Streuquerschnitt	0,6	40,0%
$\Phi$ — Strahlungsflussdichte	0,5	27,8%
$\Delta p$ — Impulsübertrag	0,4	17,8%
$\eta_{\text{conv}}$ — Wirkungsgrad	0,3	10,0%
$v_{\text{ph}}$ — Phononengeschwindigkeit	0,2	4,4%

Was das Budget sagt

Zwei praktische Schlüsse folgen, und sie sind der Grund, die Analyse durchzuführen. Erstens Messpriorität: weil der Wirkungsquerschnitt-Term den größten Varianzanteil trägt, verringert ein Experimentalprogramm die Output-Unsicherheit am schnellsten, indem es zuerst $\sigma(E)$ eingrenzt; sein $\sigma_i$ zu halbieren entfernt mehr der Gesamtvarianz als das Halbieren jedes anderen. Zweitens wo Präzision verschwendet ist: die Phononengeschwindigkeit — bereits der am besten eingegrenzte Term — enger zu fassen, bewegt die Summe kaum. Zusammen mit dem Elastizität-eins-Ergebnis ist das Bild vollständig — jeder Faktor zählt gleich für den Wert von $P(t)$, aber sie zählen sehr ungleich für seine Unsicherheit, und das Fehlerbudget sagt genau, wo man hinsehen muss. Wie alle Zahlen auf dieser Seite sind die $\sigma_i$ hier illustrativ; die Methode — Log-Varianz zerlegen, Anteile ordnen, auf den größten reagieren — ist der übertragbare Gehalt und aus dem Notebook reproduzierbar.