感度と誤差バジェット

感度解析は鋭い問いを立てる:ある入力が動けば、出力はどれほど動くのか、そしてどの入力が最も重要なのか? $P(t)$ については、マスター方程式が乗法的であるために、その答えは異例なほど整った構造をもつ。本章では、感度解析が混同しがちな二つのこと——変化への応答と不確かさへの寄与——を切り分け、$P(t)$ についてはそれらがきわめて異なるふるまいをすることを示す。本章は不確かさ解析の上に直接構築され、再現性ノートブックとその仕組みを共有する。

すべての因子は単位弾性をもつ

集約された出力を、その因子の積として模式的に書く。$P = \prod_i x_i$ とし、$x_i \in \{\Phi, \sigma, \Delta p, v_{\text{ph}}, \eta_{\text{conv}}\}$ とする。任意の因子に関する $P$ の弾性——入力の分数的変化あたりの出力の分数的変化——は、このときちょうど1である:

$$\frac{\partial \ln P}{\partial \ln x_i} = 1 \qquad \text{for every } i. \tag{1}$$

いずれかの単一因子の1パーセントの変化は、出力を1パーセント、それ以上でもそれ以下でもなく変化させる。したがって一次の応答は一様である:どの因子も本質的に他より「てこが効く」ということはない。これは乗法形式の真の性質であり、通常の局所微分によるランク付けがここでは無情報であることを意味する——それは五つの因子すべてを等しくランク付けしてしまうだろう。

実際に異なるのは不確かさである

因子が等しく応答するのでないとすれば、それらは確かに等しく知られているのでもない。したがって $P(t)$ にとって有用な感度の問いは誤差バジェットである:出力の不確かさのうち、各因子はどれほどを寄与するのか? 因子を独立かつ対数正規分布に従うものとして扱えば——一桁にわたって不確かな量にとって自然な選択である——対数分散が加算される:

$$\operatorname{Var}(\ln P) = \sum_i \operatorname{Var}(\ln x_i) = \sum_i \sigma_i^{2}, \tag{2}$$

したがって因子 $i$ の出力分散への分数的寄与は、単純に

$$c_i = \frac{\sigma_i^{2}}{\sum_j \sigma_j^{2}}. \tag{3}$$

誤差バジェットは、因子の値によってではなく、相対的不確かさ $\sigma_i$ によって完全に定まる。これがランク付けに値する量である。

誤差バジェット(例示)

この表は例示的な対数スケールの不確かさを用いる——そのように明記され、ニュートリノ断面積が最も制約の緩い項であり、フォノン速度が最もよく制約された項の一つであることを反映するよう選ばれている。現実の値は測定から得られるだろう(測定と反証可能性)。

因子	例示的な $\sigma_i$(ln単位)	分散シェア $c_i$
$\sigma(E)$ — 散乱断面積	0.6	40.0%
$\Phi$ — 放射フラックス密度	0.5	27.8%
$\Delta p$ — 運動量移行	0.4	17.8%
$\eta_{\text{conv}}$ — 変換効率	0.3	10.0%
$v_{\text{ph}}$ — フォノン速度	0.2	4.4%

バジェットが教えること

二つの実践的結論が導かれ、それらこそがこの解析を行う価値のある理由である。第一に、測定の優先順位:断面積の項が分散の最大のシェアを担うので、実験計画は $\sigma(E)$ をまず制約することで出力の不確かさを最も速く低減する。その $\sigma_i$ を半分にすることは、他のどの因子を半分にするよりも多くの総分散を取り除く。第二に、精度が無駄になる場所:すでに最もよく制約された項であるフォノン速度を締め上げても、総量はほとんど動かない。単位弾性の結果と合わせると、構図は完成する——どの因子も $P(t)$ の値にとって等しく重要であるが、その不確かさにとっては大いに不均等に重要であり、誤差バジェットはどこを見るべきかを正確に告げる。この サイト上のすべての数値と同様に、ここでの $\sigma_i$ は例示である。手法——対数分散を分解し、シェアをランク付けし、最大のものに手を打つ——こそが転用可能な内容であり、それはノートブックから再現できる。